§ 2. Функциональные свойства суммы ряда

431. Непрерывность суммы ряда.

Мы переходим теперь к изучению функциональных свойств суммы ряда, составленного из функций, в связи со свойствами этих последних. Выше уже указывалось на эквивалентность точки зрения последовательностей и точки зрения бесконечных рядов. В изложении мы отдаем предпочтение последней точке зрения, потому что в приложениях встречаются почти исключительно именно бесконечные ряды. Перенесению сказанного о функциональных рядах на случай последовательностей функций будет посвящен особый п° [436].

Введенное выше понятие равномерной сходимости во всем дальнейшем будет играть решающую роль, так что важность его выявится с полной силой.

Начнем с вопроса о непрерывности суммы ряда, которого мы уже касались в 427.

Теорема 1. Пусть функции определены в промежутке и все непрерывны в некоторой точке этого промежутка. Если ряд (3) в промежутке X сходится равномерно, то и сумма ряда в точке также будет непрерывна.

[Подобное утверждение впервые было сформулировано Коши; но знаменитый автор придал ему слишком общую форму, не выдвинув требования равномерности, без которого оно перестает быть верным.]

Доказательство. Сохраняя прежние обозначения, имеем при любом и любом х из X:

и, в частности,

откуда

Зададимся теперь произвольным Ввиду равномерной сходимости ряда можно фиксировать номер так, чтобы неравенство

выполнялось для всех значений х в промежутке X (в том числе и для Отметим, что при фиксированном и функция есть сумма определенного конечного числа функций непрерывных в точке Поэтому она также непрерывна в этой точке, и по заданному найдется такое что при будет

Тогда, ввиду (12), (13) и (14), неравенство влечет за собой

что и доказывает теорему.

Естественно, если функции непрерывны во всем промежутке то при наличии равномерной сходимости и сумма ряда (3), будет непрерывна во всем промежутке.

Что требование равномерной сходимости в тексте теоремы не может быть опущено, показывает, например, ряд

[см. 428, 8)], сумма которого равна 1 при и равна 0 при Однако равномерная сходимость фигурирует в теореме лишь как достаточное условие, и не следует думать, что это условие необходимо для непрерывности суммы ряда: например, ряды

[ср. 428, 5) и 2)] в промежутке [0, 1] имеют непрерывную сумму 0, хотя оба в нем сходятся неравномерно.

Впрочем, есть классы случаев, когда равномерная сходимость все же оказывается необходимой. В этом направлении мы докажем следующую теорему, принадлежающую Дини

Теорема 2. Пусть члены ряда (3) непрерывны во всем промежутке и положительны. Если ряд имеет сумму также непрерывную во всем промежутке, то он сходится в этом промежутке равномерно.

Доказательство. Рассмотрим остатки ряда (3):

Функция от х, как разность двух непрерывных функций, также непрерывна. Ввиду положительности членов ряда, последовательность при постоянном х, является убывающей (невозрастающей):

Наконец, поскольку ряд (3) сходится в промежутке X, при любом постоянном х

Для того чтобы установить равномерную сходимость ряда, достаточно доказать, что для каждого числа существует хоть одно значение и, при котором одновременно для всех х (ибо тогда для больших значений и это неравенство выполнялось бы и подавно).

Доказательство этого будем вести от противного. Предположим, что для некоторого такого номера и не существует. Тогда при любом в промежутке найдется такое значение , что . К последовательности все элементы которой содержатся в конечном промежутке X, применим лемму Больцано-Вейерштрасса [41] и выделим из нее частичную последовательность сходящуюся к пределу

Ввиду непрерывности имеем:

каково бы ни было . С другой стороны, при любом для достаточно больших k:

Переходя здесь к пределу при найдем, что

А это неравенство, имеющее место при любом противоречит тому, что

Теорема доказана.