437. Непрерывность суммы степенного ряда.

Важнейшим примером применения всей изложенной теории является изучение свойств степенных рядов. Мы ограничимся степенными рядами вида

Уапхп апхп

ибо, как мы видели в 403, ряды более общего вида

непосредственно приводятся к виду (31) простой заменой переменной.

Пусть ряд (31) имеет радиус сходимости [379]. Прежде всего, можно утверждать:

1°. Какое бы положительное число ни взять, ряд (31) будет сходиться равномерно относительно х в замкнутом промежутке

Действительно, так как то при ряд (31) сходится абсолютно, т. е. сходится положительный ряд:

При члены ряда (31) по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов этого ряда, который, таким образом, играет роль мажорантного ряда, и по признаку Вейерштрасса ряд (31) для указанных значений х сходится равномерно.

Хотя число и может быть взято сколь угодно близким к но из доказанного все же не вытекает равномерная сходимость в промежутке На примере прогрессии [428, 6)] читатель видит, что как раз концы промежутка сходимости могут оказаться точками неравномерности.

Теперь, как следствие теоремы 1, получаем:

2°. Сумма степенного ряда (31) для всех значений х между - и представляет собой непрерывную функцию от х.

Какое бы значение внутри промежутка сходимости ни взять, можно выбрать число так, чтобы было Применив теорему 1 в промежутке ввиду 1°, установим непрерывность функции в этом промежутке, следовательно, в частности, и при

[Обращаем внимание читателя на то, что мы избежали применения теоремы 1 в промежутке где равномерная сходимость не может быть гарантирована.]

Непрерывность суммы степенного ряда может быть использована для доказательства теоремы о тождестве степенных рядов (напоминающей подобную же теорему для многочленов):

3°. Если два степенных ряда

и

в окрестности точки имеют одну и ту же сумму, то эти ряды тождественны, т. е. соответственные коэффициенты их попарно равны:

Полагая в тождестве

сразу убеждаемся в равенстве Отбрасывая эти члены в обеих частях написанного тождества и деля их на х (в этом случае мы вынуждены считать получим новое тождество

которое также имеет место в окрестности точки но исключая саму эту точку. Не имея права положить здесь мы, однако, можем устремить х к 0; в пределе, пользуясь непрерывностью, мы все же получим, что Отбрасывая эти члены и снова деля на при найдем, что

Эта простая теорема, устанавливающая единственность разложения функции в степенной ряд, имеет частые применения. С ее помощью, например, сразу устанавливается, что разложение четной (нечетной) функции в степенной ряд вида (31) может содержать лишь четные же (нечетные) степени х.

Рассмотрим теперь более тонкий вопрос о поведении ряда вблизи одного из концов его промежутка сходимости (считая впредь этот промежуток конечным). Мы можем ограничиться правым концом все сказанное о нем, с помощью простой замены х на переносится и на случай левого конца

Прежде всего ясно, что

4°. Если степенной ряд (31) на конце его промежутка сходимости расходится, то сходимость ряда в промежутке не может быть равномерной.

Действительно, при наличии равномерной сходимости, можно было бы, по теореме 3, перейти в нашем ряде к пределу при почленно, и тем установить сходимость ряда из пределов:

вопреки предположению.

Имеет место и следующая, в некоем смысле - обратная теорема:

5°. Если степенной ряд (31) сходится и при (хотя бы и неабсолютно), то сходимость ряда будет необходимо равномерной во всем промежутке

Действительно, если представить ряд (31) в виде

то требуемое заключение непосредственно вытекает из признака Абеля, так как ряд сходится, а множители образуют монотонную и равномерно ограниченную последовательность

Доказанное предложение позволяет применить теорему 1 ко всему промежутку . Таким образом, в виде дополнения к теореме 2° о непрерывности суммы степенного ряда в открытом промежутке мы получаем такую теорему (принадлежащую Абелю):

6°. Теорема Абеля. Если степенной ряд (31) сходится при то его сумма сохраняет непрерывность и при этом значении х (разумеется слева), т. е.

Теорема Абеля имеет важные приложения.

Если для функции получено разложение в степенной ряд лишь в открытом промежутке

но функция сохраняет непрерывность, а ряд продолжает сходиться, - и на каком-либо из концов этого промежутка, например, при то разложение остается верным и для этого конца. В этом легко убедиться, переходя в написанном равенстве к пределу при

Таким образом, например, получив разложение

лишь для - но, зная, что ряд

сходится, заключаем, что сумма его есть Точно так же оправдывается и утверждение п° 407 о том, что биномиальный ряд

и при имеет своей суммой если только ряд оказывается сходящимся.