395. Примеры.

1) Интересный пример дает матрица

Здесь ряды по строкам абсолютно сходятся и имеют, соответственно, суммы Ряд, составленный из этих сумм, также абсолютно сходится; его сумма равна 1. Между тем другой повторный ряд не сходится, так как ряды по столбцам имеют суммы, попеременно равные +1 или - 1.

Этот факт нисколько не противоречит теореме 2, ибо для матрицы из абсолютных величин ни один повторный ряд не сходится. Мы видим лишь, что предположение об абсолютной сходимости рядов по строкам (по столбцам) и об абсолютной же сходимости ряда, составленного из их сумм, не может заменить требования, чтобы сходился повторный ряд для матрицы абсолютных величин.

2) Приведем знаменитый «парадокс Иог. Бернулли». Рассмотрим положительную матрицу (недостающие члены можно заменить нулями):

и приравняем сумму двух соответствующих ей повторных рядов. Если сначала суммировать по строкам, то получим суммы которых составится гармонический ряд; его сумму обозначим через Суммируя же по столбцам (все они содержат по конечному числу членов!), придем к результатам из них составится гармонический ряд без первого члена, что в сумме даст . Итак,

На деле, конечно, этот «парадокс» является лишь доказательством от противного того факта, что сумма s не может быть конечной, т. е. что гармонический ряд расходится.

3) Пусть q пробегает всевозможные степени с натуральными основаниями и показателями (большими единицы), и притом - каждую однажды. Доказать, что

[X. Гольдбах (Ch. Goldbach)].

Если принимает всевозможные натуральные значения не являющиеся степенями, то

Отсюда

где пробегает на этот раз уже все натуральные значения, начиная с 2, так что, действительно, G = 1 [25, 9].

[Обоснование, со ссылкой на доказанные теоремы, предоставляем читателю]. Любопытно сопоставить этот результат с результатом Штейнера (J. Steiner):

Здесь степени могут появляться и не однажды!)

4) Рассмотрим матрицу с общим членом

Воспользовавшись установленным в 4), 363 соотношением

(при легко просуммировать члены строки:

отсюда сумма повторного ряда

Ввиду симметрии выражения относительно и , второй повторной ряд тождествен с первым, и приравнивание их сумм ничего нового не даст.

Видоизменим теперь матрицу так: сохранив в -ой строке первые членов прежними, вместо члена подставим сумму всех членов строки, начиная с а остальные члены отбросим. Для новой матрицы

Суммы рядов по строкам, а с ними и сумма первого повторного ряда останутся прежними [см. (12)]. Для суммирования рядов по столбцам вычислим сначала

здесь мы снова воспользовались соотношением (11), при . Сумма же остальных членов столбца равна

[в (11) мы положили Окончательно же, сумма членов -го столбца сказывается равной

Приравнивая, по теореме 3, суммы обоих повторных рядов, мы приходим к интересному соотношению:

Так как ряд справа сходится очень быстро, то он облегчает приближенное вычисление суммы важного ряда, стоящего слева. Больше того, ниже [440, 7] мы увидим, что выведенное соотношение позволяет выразить сумму первого ряда «в конечном виде»: она равна (этот результат принадлежит Эйлеру).

5) Остановимся на ряде Ламберта:

ограничиваясь предположением, что . Мы видели [385, 5)], что при этом предположении ряд Ламберта сходится при тех же значениях х, что и степенной ряд

Допустим же, что радиус сходимости этого ряда [379], и будем считать

Очевидно:

Составим теперь матрицу из этих членов, умноженных еще на помещая одинаковые степени в один столбец (пустые места можно заполнить нулями):

Повторный ряд по строкам как раз и имеет сумму Так как степенной ряд, а с ним и ряд Ламберта, сходится при замене на и на то можно применить теорему 3 и просуммировать по столбцам. Мы получим разложение в степенной ряд

значок условно означает, что сумма распространяется лишь на делители к числа

Например, полагая или , будем иметь соответственно

где означает число, а - сумму делителей

6) Расположив те же члены иначе, без пропусков:

мы сохраним те же суммы по строкам, по столбцам же получим, по порядку: Таким образом, мы приходим к тождеству, связывающему функции

Например, взяв где будем иметь

так что

7) Полученный результат можно обобщить. Пусть даны два степенных ряда

Ограничимся значениями х, для которых и оба ряда абсолютно сходятся.

Составим матрицу из элементов Так как (для то

Отсюда легко заключить, что двойной ряд, соответствующий взятой матрице, абсолютно сходится. Приравнивая, на основании следствия, суммы повторных рядов, найдем тождество:

Отсюда тождество предыдущего упражнения получается при что

получается умножением рядов которые (абсолютно) сходятся при для этих значений (абсолютно) сходится и двойной ряд.

Если или то нарушается необходимое условие сходимости: общий член не стремится к О, ряд расходится. Легко проверить непосредственно, что расходимость налицо и в случае, если или

9) Рассмотрим ряд

Он также получается умножением рядов которые сходятся при так что и двойной ряд при этих предположениях сходится.

Наоборот, если то двойной ряд наверное расходится, ибо тогда расходятся все ряды по строкам (по столбцам) (ср. следствие предыдущего п°).

10) Исследуем сходимость ряда

Для этого представим его в виде простого ряда, расположив члены его по диагоналям. Так как члены, лежащие на одной диагонали, равны, то, объединив их для удобства подсчета, получим ряд

Ввиду очевидных неравенств

деля на , будем иметь

Отсюда ясно, что полученный нами простой ряд сходится при и расходится при По теореме 7, то же справедливо и для двойного ряда.

11) Рассмотрим теперь более сложный ряд

где форма предполагается определенной положительной, так что а также

Если через обозначить наибольшее из чисел то, очевидно,

В таком случае из 10) ясно, что при наш ряд расходится.

С другой стороны, имеем

так что

Отсюда легко получить, что

Сопоставляя это с 9), видим, что при рассматриваемый ряд сходится.

12) В теореме 4, вместе с предположением о сходимости двойного ряда, делается особо предположение о сходимости всех рядов по строкам. Следующий простой пример показывает, что без второго предположения обойтись нельзя - оно не вытекает из первого. Двойной ряд по схеме

сходится, его сумма равна 0. Между тем все ряды по строкам расходятся.

13) Установить суммы следующих двойных рядов:

Указание. Перейти к повторному ряду, начав с суммирования по . Использовать разложения

как известные.

14) Рассмотрим функцию двух переменных

Перемножая абсолютно сходящиеся ряды

получим для этой функции (также абсолютно сходящийся) двойной ряд

Собирая (следствие) члены с одинаковыми степенями z, можно преобразовать его в повторный ряд

где

а для

Впрочем, легко видеть, что

Функция называется функцией Бесселя со значком н; эти функции играют важную роль в математической физике, небесной механике и т. д. Функция , из разложения которой они получаются, носит название «производящей функции» для бесселевых функций.