§ 5. Элементарные функции комплексной переменной

453. Комплексные числа.

Хотя наш курс целиком посвящен вещественным переменным и вещественным же функциям от них, настоящий параграф - отступая от этой основной линии - мы посвятим элементарным функциям комплексной переменной. Изложение этого вопроса примыкает к теории степенных рядов и, в свою очередь, проливает свет на некоторые принципиальные моменты этой теории. Кроме того, знакомство с функциями

комплексной переменной оказывается полезным для вещественного анализа и в вычислительном отношении [ср. примеры в 461, а также главу XIX, посвященную рядам Фурье, в третьем томе курса].

Мы предполагаем, что читатель уже знает комплексные числа из алгебры. Поэтому мы ограничимся здесь лишь кратким обзором основных свойств этих чисел.

Комплексное число z имеет вид: , где есть мнимая единица, - вещественные числа. Из них х называется вещественной, а у — мнимой составляющей или частью числа и обозначаются так:

Два комплексных числа равны тогда (и только тогда), когда порознь Сложение и умножение комплексных чисел производятся по формулам:

легко проверить существование разности и частного, выражаемых так:

(последнее - в предположении, что т. е. что При этом для комплексных чисел соблюдаются все обычные свойства действий, не связанные с понятиями больше и меньше (эти понятия для комплексных чисел не устанавливаются). Точнее говоря, имеют место свойства II 1° - 4° п° 3 и III 1° - 5° п° 4.

Рис. 63.

Возьмем на плоскости прямоугольную систему координатных осей (рис. 63).

Тогда каждое комплексное число может быть изображено на этой плоскости точкой координатами которой являются вещественная и мнимая составляющие этого числа. Очевидно, и обратно - каждой точке М плоскости отвечает вполне определенное комплексное число. В связи с этим рассматриваемую плоскость называют плоскостью комплексной переменной z или просто комплексной плоскостью.

Вещественные числа изображаются точками на оси х (ибо для них а чисто мнимые числа - точками на оси у. Эти оси и называют первую - вещественной осью, а вторую - мнимой.

Важную роль играют также полярные координаты точки, служащей изображением числа (см. чертеж). Неотрицательное число называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа z и

обозначается так: . Модуль однозначно определяется комплексным числом

и обращается в нуль в том и только в том случае, когда . Угол называется аргументом комплексного числа При он определяется из равенств

но лишь с точностью до слагаемого вида (k - целое). Для аргумент остается вовсе не определенным. За исключением этого случая для каждого числа z существует один и только один аргумент в, удовлетворяющий неравенствам

его называют главным значением аргумента и обозначают через Если то

и угол можно определить равенством

оно годится для всех комплексных чисел, кроме вещественных отрицательных (и нуля).

Отметим, что для модулей комплексных чисел также выполняется неравенство:

столь привычное для абсолютных величин вещественных чисел. Действительно, в настоящем случае оно приводится к известному неравенству:

которое представляет частный случай неравенства Минковского [133 (7)]; см. также сноску на стр. 346 I-го тома.

Справедливы и вытекающие из него следствия [см. 17].

Если в обозначении комплексного числа положить то получим так называемую тригонометрическую форму комплексного числа:

Возьмем второе комплексное число также в тригонометрической форме:

Тогда произведение в тригонометрической форме напишется так:

это непосредственно следует из теорем сложения для косинуса и синуса. Отсюда

Аналогично, для частного чисел находим:

Из формулы произведения получается формула для степени с натуральным показателем :

в частности, при приходим к формуле Моавра (A. de Moivre):

Наконец, для корня степени из z имеем

где есть арифметический корень из Полагая здесь поочередно, например,

мы получим различных значений корня (конечно, считая при других значениях 0 будут уже лишь повторяться эти же значения корня.