482. Условия и признаки существования интеграла.

Мы остановимся лишь на случае, связанном с определением (1), так как перефразировка для других случаев не представляет трудностей. Ввиду полной аналогии с несобственным интегралом, распространенным на бесконечный промежуток мы ограничимся формулировкой некоторых основных предложений. Доказательства аналогичны приведенным выше.

Для сходимости несобственного интеграла (1) - в случае положительной функции - необходимо и достаточно, чтобы при всех выполнялось неравенство

Теоремы сравнения п° 474 формулируются и доказываются и в рассматриваемом случае почти в тех же выражениях. Приведем без доказательства вытекающие отсюда признаки Коши.

Пусть для достаточно близких к значений х функция имеет вид:

Тогда, 1) если то интеграл сходится, 2) если же то этот интеграл расходится.

Более частная форма, удобная на практике:

Если при функция является бесконечно большой порядка по сравнению с то интеграл сходится или расходится в зависимости от того, будет ли

Примеры. Подинтегральная функция при представляет бесконечно большую порядка :

Следовательно, интеграл сходится.

. Бесконечно большая порядка , интеграл сходится.

Если при интеграл существует как собственный. При подинтегральная функция обращается в бесконечность при

Если то взяв А под условием будем иметь

так как интеграл — сходится, то и предложенный интеграл сходится [по теореме, аналогичной теореме 2 п° 474] .

Наконец, если то интеграл расходится, тем более расходится предложенный интеграл, ибо

[по той же теореме].

Дальнейшие примеры читатель найдет в следующем п°.

Далее, применяя признак Больцано-Коши, имеем такое общее условие сходимости:

Для сходимости несобственного интеграла (где - особая точка) необходимо и достаточно, чтобы каждому числу отвечало такое число чтобы при и выполнялось неравенство

Отсюда, как и выше, вытекает:

Если сходится интеграл то и подавно сходится интеграл

Обратное, вообще говоря, неверно. Поэтому и здесь особо отличают случай, когда наряду с интегралом сходится и тогда первый интеграл называют абсолютно сходящимся, а функцию - абсолютно интегрируемой в промежутке

Подобно последнему утверждению п° 476 легко доказать и здесь: Если функция абсолютно интегрируема в промежутке а функция интегрируема в в собственном смысле, то и функция будет абсолютно интегрируема в указанном промежутке.

Связь с бесконечными рядами дается теоремой:

Для сходимости несобственного интеграла (где - особая точка) необходимо и достаточно, чтобы - какова бы ни была варианта - ряд

сходился к одной и той же сумме, последняя и дает значение несобственного интеграла.

Дадим пример интеграла, сходящегося, но не абсолютно. Положим для

она непрерывна при и единственной особой точкой для нее в промежутке [0, 2] будет 0. С другой стороны, первообразной для как нетрудно проверить, является функция

которая имеет при пределом Таким образом, интеграл

сходится.

Для того чтобы обнаружить, что интеграл расходится, прибегнем к представлению этого интеграла в виде ряда. Возьмем варианту положив

Тогда

В промежутке , т. e. для — имеют противоположные знаки, так что сохраняет определенный знак, и поэтому

Ввиду расходимости гармонического ряда расходится и рассматриваемый ряд, а с ним и предложенный интеграл.