483. Примеры.

Исследовать на сходимость интегралы

Решение, (а) Особая точка Ввиду существования производной

подинтегральное выражение будет (при ) бесконечно большой порядка (относительно ). Сходимость.

(б) Особая точка Так как

то порядок подинтегрального выражения |относительно будет 2/3. Сходимость.

(в) И здесь

то порядок [относительно равен 1. Расходимость.

(г) Если О, то особой точкой является при особая точка 0. В обоих случаях подинтегральное выражение является бесконечно большой порядка Итак - сходимость при и расходимость при

(д) При особой точкой будет , а при особая точка Ответ тот же, что и в примере

Решение, При подинтегральная функция стремится к 0. Особая точка Пусть тогда

сходимость.

(б) При раскрыв неопределенность, найдем, что подинтегральная функция имеет конечный предел . Особая точка (если хоть одно из чисел меньше 1, что мы и предположим). Отношение подинтегральной функции к числителю равно (при ). Ввиду сходимости интеграла сходится и предложенный интеграл.

(в) Особая точка Пусть имеем:

сходимость.

(г) Положим особая точка Пусть снова тогда

стремится к нулю при интеграл сходится.

Решение, (а) При особая точка 0, при особая точка 1. Разложим предложенный интеграл на два, например, так: Так как подинтетральная функция при является бесконечно большой (если 1) порядка 1 - а, то первый интеграл сходится лишь при условии

Аналогично, второй сходится при Итак, предложенный интеграл сходится в том и только в том случае, если одновременно а

По отношению к точке положение осталось прежним. Достаточно рассмотреть интеграл и притом в предположении интеграл существует, как собственный). Рассуждения те же, что и в примере 3) п° 482. Интеграл сходится при как в случае (а).

Что касается точки то здесь положение изменилось, так как при является бесконечно малой порядка. Интеграл существует при

Окончательно, условия сходимости предложенного интеграла:

Решение. Так как случай приводится к случаю подстановкой то можно ограничиться предположением: Кроме того, для сходимости интеграла во всяком случае необходимо: - иначе при подинтегральная функция становится бесконечно большой порядка

Если то этого условия и достаточно. При интеграл сходиться не может, ибо при имеем бесконечно большую порядка 1.

Пусть, наконец, Тогда налицо еще одна особая точка. при подинтегральное выражение обращается в бесконечность порядка значит для сходимости интеграла нужно еще потребовать:

Итак, интеграл сходится, если или и 1; в прочих же случаях - расходится.

Решение, (а) Особые точки: и (при также 0. Если разбить интеграл: то первый сходится при а (бесконечно большая порядка относительно , а второй - при бесконечно малая порядка относительно — I. Итак, интеграл сходится при

(б) Особые точки Взяв , имеем

сходится. Пусть теперь тогда

значит, и сходится. Отсюда следует сходимость

(в) Особые точки и 0 (при существует лишь бесконечно малая порядка по отношению существует, каково бы ни было , так как, взяв имеем

существует при

В следующих двух упражнениях рассматриваемые в конечном (или бесконечном) промежутке функции предполагаются имеющими в нем (или в каждой его конечной части - если промежуток бесконечен) разве лишь конечное число особых точек.

6) Доказать, что

(а) если интегрируема функция то и сама функция необходимо будет абсолютно интегрируема (про такую функцию говорят, что она «интегрируема с квадратом»);

(б) если обе функции интегрируемы с квадратом, то и сумма также интегрируема с квадратом;

(в) при тех же предположениях и произведение будет (абсолютно) интегрируемой функцией.

По теореме сравнения все это просто вытекает из неравенств

7) Для функций указанного класса могут быть установлены те же интегральные неравенства, какие были выведены в п° 321 в предположении интегрируемости рассматриваемых функций в собственном смысле. Например, если единственной особой точкой во всех случаях является (которое может быть и то стоит лишь написать то или иное интегральное неравенство для промежутка где а затем перейти к пределу при чтобы установить справедливость неравенства и для несобственных интегралов. При этом из сходимости интегралов в правой части неравенства вытекает сходимость интегралов в левой части, сходно с тем, что мы имели в 375, 8) по отношению к бесконечным рядам.