§ 6. Отвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера—Маклорена

462. Примеры.

В § 9 предыдущей главы мы познакомили читателя с некоторыми важнейшими определениями «обобщенной суммы» для расходящихся рядов, причем сами частичные суммы ряда всего менее были пригодны для приближенного вычисления такой «суммы». Сейчас мы вновь займемся расходящимися рядами, но совсем в другом плане: мы покажем, что при наличии определенных условий и в известных границах именно частичные суммы расходящегося ряда могут служить превосходными приближениями для числа, в том или ином смысле «породившего» этот ряд. Для того чтобы читатель ощутил наперед практическую важность применения расходящихся рядов в приближенных вычислениях, достаточно упомянуть о том, что этим методом привычно пользуются астрономы для предвычисления положения небесных тел, причем точность получаемых результатов оказывается вполне удовлетворительной.

Мы постараемся сначала выяснить нужные нам идеи на двух простых примерах.

1) Рассмотрим логарифмический ряд

Хорошо известно [405], что этот ряд сходится и представляет функцию лишь для Вне этого промежутка (например, для ряд будет расходящимся и лишен суммы. Однако и для значений функция продолжает быть связанной с отрезками этого расходящегося ряда, ибо, по формуле Тейлора,

где «дополнительный член» может быть взят, скажем, в форме Лагранжа [126]

Оказывается, что дополнительный член абсолютно меньше первого отбрасываемого члена ряда и имеет одинаковый с ним знак (как и в случае сходящегося ряда лейбницевского типа!). Итак, если заменить значение при отрезком расходящегося ряда (1), то мы имеем удобную оценку погрешности (и даже знаем ее знак). Этого достаточно для того, чтобы можно было воспользоваться упомянутым отрезком для приближенного вычисления числа

Конечно, при с возрастанием до бесконечности погрешность стремится к 0, а при заданном но будем иметь даже

т. е. погрешность будет, по сравнению с х, бесконечно малой тем более высокого порядка, чем больше При любом фиксированном оценочный член сам растет до бесконечности с возрастанием и, и не может быть речи о том, чтобы - для данного х - за счет сделать погрешность произвольно малой. Однако, как показывает сама оценка

при х, достаточно близком к 1, все же можно сделать погрешность произвольно малой! Если х фиксировано, но близко к 1, то члены ряда (1), даже при будут сначала убывать по абсолютной величине, именно, покуда отношение

а затем лишь начнут возрастать. Выгоднее всего оборвать ряд на члене с номером так - при данном х - получается наилучшее приближение для числа

В изложенном примере рассматриваемый ряд (1) все же для был сходящимся. Второй пример поучительнее в том отношении, что здесь рассматривается постоянно расходящийся ряд.

2) Положим теперь (для )

где (ряд сходится!).

При имеем

если же то этот ряд расходится. Тем не менее, формально подставив это разложение в ряд, определяющий функцию объединим подобные члены и получим таким путем ряд

где

Легко убедиться, что ряды, определяющие коэффициенты все сходятся. Но предшествующий ряд явно расходится, ибо

а последнее выражение при стремится к

Для написанного расходящегося ряда отрезок будег:

так что «дополнительный член»

И здесь имеем

Снова налицо привычная особенность ряда лейбницевского типа, хотя рассматриваемый ряд и расходится. Конечно, приближенно приравнивая частичной сумме этого расходящегося ряда, при фиксированном х, заведомо нельзя получить произвольную точность, но можно добиться любой точности при достаточно большом х. Для рассматриваемого случая сохраняет силу замечание о том, что наращивание числа сохраняемых членов выгодно (в смысле увеличения точности) лишь до тех пор, пока члены по абсолютной величине убывают, т. е.

Очевидно, при фиксированном и, дополнительный член стремится к О, если х - Более того, так как при этом

то

так что оказывается бесконечно малой выше порядка. Чем больше членов расходящегося ряда (2) мы удерживаем для приближенного представления функции тем более высокого порядка малости при можно ждать от погрешности этого приближения!