400. Примеры.

1)

Так как частичное произведение

то бесконечное произведение сходится, и его значением будет

2) Формула Валлиса [317]

очевидно, равносильна разложению числа — в бесконечное произведение

Она же приводит к формулам

3) Докажем, что (при

Действительно, как легко убедиться последовательным умножением,

Отсюда в пределе и получается требуемое равенство.

4) Мы имели в п° 54, 7а) предел:

Теперь мы можем записать это так:

В частности, при придем к разложению:

Если вспомнить, что

то разложение это можно переписать в виде

[Виета (F. Viеtа)]. Эта формула вместе с формулой Валлиса представляет первые примеры бесконечных произведений в истории анализа.

5) В 315 (10) для полного эллиптического интеграла рода мы установили формулу

где варианта определяется рекуррентным соотношением:

Эта формула дает разложение в бесконеченое произведение

6) Рассмотрим еще такое бесконечное произведение:

В данном случае частичное произведение имеет вид

где С - эйлерова постоянная, а бесконечно малая [367 (4)]. Таким образом, произведение сходится, и его значение