434. Почленное интегрирование рядов.

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об интегрировании суммы сходящегося функционального ряда.

Теорема 5. Если функции непрерывны в промежутке и составленный из них ряд (3) сходится в этом промежутке равномерно, то интеграл от суммы ряда (3) представляется следующим образом:

Доказательство. Ввиду непрерывности функций теорема 1], существование всех этих интегралов очевидно. Проинтегрировав тождество

в промежутке получим:

Таким образом, сумма членов ряда (21) разнится от интеграла дополнительным членом Для доказательства разложения (21) нужно лишь установить, что

В силу равномерной сходимости ряда (3), для любого найдется номер такой, что при

сразу для всех х в рассматриваемом промежутке. Тогда для тех же значений и будет:

что и доказывает предельное соотношение (22). Равенство (21) может быть написано в виде

так что в случае равномерно сходящегося ряда интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов его членов, или, иными словами, допустимо почленное интегрирование ряда.

Как и в случае теоремы 1, требование равномерной сходимости существенно для верности разложения (21), т. е. не может быть просто опущено, но все же не является необходимым. Ряды (15), рассмотренные в 431, как раз и иллюстрируют это обстоятельство. Оба они в промежутке [0, 1] сходятся к функции неравномерно. Но, интегрируя первый почленно, мы в качестве суммы ряда интегралов получим

для второго же ряда аналогично найдем

Любопытен пример ряда 1

Здесь

так что ряд можно интегрировать почленно, хотя при он и вовсе расходится.

Укажем теперь обобщение теоремы 5, связанное с отказом от требования непрерывности рассматриваемых функций. Теорема 6. Если функции интегрируемы в промежутке и составленный из них ряд (3) сходится равномерно,

то сумма ряда также будет интегрируема, и имеет место разложение (21).

Доказательство. Остановимся на интегрируемости функции

Ввиду равномерной сходимости ряда, по заданному наперед мы можем фиксировать столь большим, чтобы во всех точках промежутка было:

Возьмем какую-нибудь часть промежутка и пусть будут точные границы функции - ее колебание; соответствующее колебание функции обозначим через Ввиду (23), в пределах промежутка

Разобьем теперь промежуток обычным образом на частичные промежутки и станем значком отмечать колебания, относящиеся к промежутку. Тогда

Так как второе слагаемое справа произвольно мало, а первое стремится к нулю вместе с то это же справедливо и относительно выражения слева, откуда и следует интегрируемость функции [297 (8)].

Что же касается равенства (21), то оно доказывается буквально так же, как и выше.

Покажем на примере, что при нарушении равномерности ряд, состоящий из интегрируемых функций, может иметь неинтегрируемую сумму. Положим равным 1, если х выражается несократимой дробью и равным в прочих точках промежутка [0, 11. Эти функции, имеющие лишь конечное число разрывов, интегрируемы в [0, 1], а суммой ряда будет заведомо неинтегрируемая функция Дирихле [300, (2)].

Вместе с тем, разумеется (мы это видели на примерах), равномерная сходимость не является необходимым условием для интегрируемости суммы ряда, составленного из интегрируемых функций. И для этого случая Арцела указал условие, одновременно необходимое и достаточное («квазиравномерная сходимость вообще»), ср. п° 432.