274. Разложение правильных дробей на простые.

Остановимся теперь на одной теореме из области алгебры, которая, однако, имеет

фундаментальное значение в теории интегрирования рациональных дробей: каждая правильная дробь

может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей.

Это разложение правильной дроби на простые дроби теснейшим образом связано с разложением ее знаменателя на простые множители. Как известно, каждый целый многочлен с вещественными коэффициентами разлагается (и притом единственным образом) на вещественные же множители типа при этом квадратичные множители предполагаются не имеющими вещественных корней и, следовательно, неразложимыми на вещественные линейные множители. Объединяя одинаковые множители (если таковые имеются) и полагая, для простоты, старший коэффициент многочлена равным единице, можно записать разложение этого многочлена схематически в виде

где к, суть натуральные. числа.

Заметим, что если степень многочлена есть то, очевидно, сумма всех показателей k, сложенная с удвоенной суммой всех показателей в точности даст

Для доказательства теоремы установим предварительно следующие два вспомогательных предложения:

1°. Рассмотрим какой-нибудь линейный множитель входящий в разложение знаменателя с показателем так что

где многочлен уже на не делится. Тогда данная правильная дробь

может быть представлена в виде суммы правильных дробей

из которых первая является простой, а знаменатель второй содержит множитель в более низкой степени, чем раньше.

Для доказательства достаточно подобрать число А и многочлен так, чтобы выполнялось тождество

Определим сначала А так, чтобы левая часть делилась на для чего достаточно (по известной теореме чтобы ее значение при было нулем; это приводит к следующему выражению для А:

Оно имеет смысл именно потому, что (также по теореме При указанном выборе А многочлен определится просто как частное.

2°. Пусть теперь будет какой-нибудь из квадратичных множителей, входящий в разложение знаменателя с показателем так что на этот раз можно положить

где многочлен на трехчлен не делится. Тогда данная правильная дробь

может быть представлена в виде суммы правильных дробей

из которых первая уже будет простой, а вторая содержит в знаменателе упомянутый трехчлен снова - в низшей степени.

Для доказательства достаточно подобрать числа и многочлен так, чтобы имело место тождество

Определим так, чтобы на этот раз левая часть делилась на квадратный трехчлен Пусть остатками от деления Р и на этот трехчлен будут, соответственно, Тогда вопрос сведется к тому, чтобы на делилось выражение

Выполнив здесь деление, на самом деле, в остатке будем иметь

Мы должны приравнять нулю оба эти коэффициента и, таким образом, для определения получим систему из двух линейных

уравнений; ее определитель

отличен от нуля. Действительно, при его можно написать в виде

но выражение в квадратных скобках есть значение нашего трехчлена в точке и, следовательно, не может быть нулем, ибо трехчлен этот не имеет вещественных корней. При определитель сведется к а в этом случае заведомо не нуль, поскольку многочлен на не делится.

Установив указанным путем значения М и многочлен и здесь также определим без труда как частное.

Обратимся теперь к доказательству высказанной вначале теоремы. Оно сведется к повторному применению предложений 1° и 2°, которые обеспечивают возможность последовательного выделения простых дробей из данной правильной дроби, вплоть до ее исчерпания.

Если множитель входит в лишь в первой степени, то, в силу 1° (при ), мы поставим ему в соответствие единственную простую дробь вида

В случае же, если показатель степени есть к то, выделив, на основании 1°, простую дробь

мы к оставшейся дроби снова применим 1°, выделим простую дробь

и т. д., пока множитель вовсе не исчезнет из разложения знаменателя. Таким образом, в рассматриваемом случае множителю будет отвечать группа из к простых дробей

Такое же рассуждение мы поочередно применим и к каждому из оставшихся еще линейных множителей, пока знаменатель не исчерпается или в его разложении не останутся одни лишь квадратичные Множители.

Аналогично этому, пользуясь 2°, квадратичному множителю мы поставим в соответствие одну лишь простую дробь вида

если он входит в первой степени, и группу из простых дробей

если этот множитель входит с показателем 1.

То же можно сделать и с прочими квадратичными множителями, если они еще имеются; этим и завершается доказательство теоремы.