459. Тригонометрические функции и им обратные.

Мы знаем [404 (12) и (13)], что при вещественном х функции представляются следующими рядами:

Естественно функции для любого комплексного z определить с помощью аналогичных рядов:

сходящихся на всей плоскости переменной

Этот способ введения тригонометрических функций для нас уже не нов: в 443 мы воспользовались им даже в вещественной области (для того, чтобы обосновать эти важные для анализа функции без обращения к геометрии). Подражая проведенным там рассуждениям, можно было бы и здесь установить для косинуса и синуса теоремы сложения, формулы приведения, свойство периодичности, а также правила дифференцирования их - но уже для комплексных значений независимой переменной.

Впрочем те же результаты можно получить и другим путем, установив связь тригонометрических функций с показательной. Именно, при любом комплексном z, обобщая сделанное в 457 для можно вывести, что [ср. (5)]

а отсюда [ср. (7)]

Эти формулы целиком сводят изучение тригонометрических функций к изучению показательной функции. [Их можно было бы положить в основу определения тригонометрических функций вместо Предлагаем читателю, исходя из формул (15), наново доказать упоминавшиеся выше свойства косинуса и синуса, а также установить, что не имеют других периодов, кроме (k - целое), и 2) что все корни этих функций вещественны.

Если в (15) взят (у - вещественное), то найдем

Таким образом устанавливается непосредственная связь между гиперболическими функциями от вещественного аргумента и тригонометрическими - от чисто мнимого. Любопытно отметить, что есть вещественное число, всегда большее единицы.

Теперь, воспользовавшись теоремами сложения, можно написать, что

или [во внимание к (16)]

и тем разложить косинус и синус на их составляющие.

Функции определяются формулами

причем оказываются имеющими период

Разложения, полученные в 449 для сохраняют свою силу и после подстановки комплексной переменной z на место вещественной х. Сходство разложений для становится совершенно понятным, если учесть получающиеся из (16) соотношения

Из функций, обратных тригонометрическим, мы остановимся на арктангенсе и на арксинусе.

Ввиду того, что тригонометрические функции приводятся к показательной, естественно ждать, что обратные им окажутся связанными с логарифмом.

Начнем с указания, что не принимает значения (в этом легко убедиться, рассуждая от противного). Пусть тогда уравнение

может быть решено относительно

Таково выражение для обратной функции очевидно, бесконечно многозначной вместе с

Если для логарифма взять его главное значение, то получим главное значение арктангенса:

которое характеризуется тем, что его вещественная часть содержится в промежутке

Остальные значения получаются по формуле

Заменив в ряде на придем к разложению для главной ветви арктангенса

которое действительно для

Обратимся, наконец, к решению уравнения

относительно

откуда

и здесь получаем бесконечно многозначную функцию.

Ограничимся для логарифма его главным значением:

При или - 1 радикал обращается в 0, и мы получим, соответственно, или что и примем за главное значение арксинуса. Пусть теперь и нам предстоит выбор из двух значений . Очевидно,

так что

следовательно, и

в то время как мнимые части разнятся лишь знаками. Так как каждая из вещественных частей не выходит за пределы промежутка , то лишь одна из них будет содержаться между соответствующее значение арксинуса принимаем за главное. Исключение представится лишь в случае, когда обе вещественные части равны — или - тогда за главное принимается то значение, которому отвечает положительная мнимая часть. С этой оговоркой можно сказать, что главное значение арксинуса определяется условием

Легко проверить, что остальные значения выразятся формулами:

В заключение, упомянем о разложении по степеням . В области вещественных переменных мы уже видели, что для ряда

[выражающего sin х], обращением будет ряд

[выражающий ; см. 440, 3)]. Так как и в случае комплексных переменных коэффициенты определяются совершенно одинаковым образом, то ясно, что в результате обращения ряда

должен получиться ряд

Его радиус сходимости при он дает одно из значений Покажем, что это будет именно главное значение Действительно не превосходит

откуда и вытекает требуемое заключение.