285. Примеры.

Полагаем

откуда

Система уравнений

приводит к значениям . Таким образом, если учесть пример 5) п° 283, окончательно получим

Подстановка (если, скажем, 1 и ) приводит интеграл к виду

Этот интеграл легко берется элементарными средствами [см. 283, 4)].

Ответ:

Подстановка Абеля

преобразует интеграл следующим образом:

при этом можно либо повторить для частного случая общие выкладки п° 284, III (а), либо воспользоваться готовой формулой (12).

Дробно-линейная подстановка

дает

Требования

или удовлетворяются, например, при Имеем

и

если - для определенности - считать (т. е. ). Таким образом,

Полученный интеграл разбивается на два:

Первый легко вычисляется подстановкой и оказывается равным . Ко второму применим подстановку Абеля

которая приведет его к виду

Остается лишь вернуться к переменной х.

Указание. Представить подынтегральную функцию в виде

к третьему слагаемому применить метод п° 284, I, а к последнему - подстановку