§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов

409. Общие замечания.

На примере полученных нами конкретных разложений мы разъясним, как бесконечные ряды могут быть использованы для целей приближенных вычислений. Предпошлем ряд общих замечаний.

Если неизвестное нам число А разложено в ряд:

где - легко вычисляемые (обыкновенно рациональные) числа, и мы положим приближенно:

то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится остатком

При достаточно большом и эта погрешность станет сколь угодно малой, так что воспроизведет А с любой наперед заданной точностью.

Мы заинтересованы в возможности просто производить оценку остатка это позволило бы нам и вовремя остановиться при вычислении последовательных частичных сумм, когда уже будет получено приближение требуемой точности.

Если рассматриваемый ряд оказывается знакопеременным и притом с монотонно убывающими по абсолютной величине членами («цейбницевского типа»), то, как мы видели [381, замечание], остаток имеет знак своего первого члена и по абсолютной величине меньше его. Эта оценка в смысле простоты не оставляет желать лучшего.

Несколько сложнее обстоит дело в случае положительного ряда.

Тогда обыкновенно стараются найти легко суммируемый положительный же ряд, члены которого были бы больше членов интересующего нас остатка, и оценивают остаток суммой этого ряда.

Например, для ряда — можно получить:

[эта оценка совпадает с оценкой сверху, полученной в 373 (11) с помощью интегрирования], а для ряда

[этой оценкой мы фактически и пользовались при вычислении числа в 37].

Обыкновенно ищется десятичное приближение числа А, в то время как члены ряда могут и не быть выражены десятичными дробями. При обращении их в десятичную дробь, округление их служит источником новой погрешности, которую также следует учесть.

Наконец, отметим, что далеко не всякий ряд, имеющий суммой интересующее нас число А, пригоден для фактического вычисления этого числа (даже если его члены просты, и оценка остатка производится легко). Вопрос - в быстроте сходимости, т. е. в быстроте приближения частичной суммы к числу А.

Возьмем для примера ряды [см. 404 (16) и 405 (18)]:

дающие соответственно разложение чисел — и Для того чтобы с их помощью вычислить эти числа, скажем, с точностью до нужно было бы сложить пятьдесят тысяч членов в первом случае и сто тысяч - во втором; это, конечно, осуществимо лишь с помощью быстродействующих вычислительных машин.

Ниже мы без особого труда вычислим упомянутые числа даже с большей точностью, но использовав более подходящие рады.