371. Признак Куммера.

Теперь мы выведем один весьма общий признак, принадлежащий Куммеру (Е. Е. Kummer); его скорее можно рассматривать как общую схему для получения конкретных признаков.

Признак Куммера. Пусть

будет произвольная последовательность положительных чисел, такая, что ряд

расходится. Составим для испытуемого ряда (А) варианту

Если (для ) выполняется неравенство

где - постоянное положительное число, то ряд сходится. Если же (для )

то ряд расходится.

Доказательство. Пусть

(неравенство это, очевидно, можно считать выполненным при всех

Умножив обе части этого неравенства на получим:

значит,

Отсюда следует, что переменная спап монотонно убывает и, следовательно, стремится к конечному пределу (так как она ограничена снизу нулем).

Итак, ряд

сходится, ибо сумма его и первых членов:

имеет конечный предел. Но тогда из неравенства (6), по теореме I, следует, что сходится ряд а с ним и данный ряд (А).

Если же, для

то имеем:

Так как ряд V — предположен расходящимся, то, по теореме 3, расходится и испытуемый ряд (А), ч. и тр. д.

В предельной форме признак Куммера выглядит так:

Допустим, что варианта имеет предел (конечный или нет):

Тогда при ряд сходится, а при - расходится.

Покажем теперь, как при помощи признака Куммера можно получить некоторые важные признаки сходимости как частные случаи его.

а) Положим, например, условие, чтобы ряд — расходился, соблюдено. Имеем:

Если варианта стремится к пределу то стремится к пределу если если При очевидно, и по признаку Куммера ряд расходится; если же то и ряд сходится. Таким образом, мы пришли вновь к признаку Даламбера.

б) Положим, далее, и отметим, что ряд — расходится. Выражение получит вид:

Если варианта стремится к пределу , то стремится к пределу если При имеем и по признаку Куммера ряд сходится; если же то так что ряд расходится. Мы вновь получили признак Раабе.

в) Наконец, возьмем такой выбор допустим, ибо ряд расходится [367, 6)]. Имеем в этом случае

что можно также представить в виде:

если обозначить через новую варианту:

Отсюда получается уже новый

Признак Бертрана (J. Bertrand). Допустим, что варианта имеет предел (конечный или

Тогда при ряд сходится, а при - расходится.

Действительно, так как то варианта Куммера стремится к пределу если Остается сослаться на признак Куммера.

Сопоставляя признаки Раабе и Бертрана, можно было бы повторить те же замечания, которые мы выше сделали по поводу признаков Даламбера и Раббе [369]. Эта цепь все более и более чувствительных (но и более сложных!) признаков может быть неограниченно продолжена.