336. Площадь как предел.

Условие квадрируемости, сформулированное в предыдущем п°, может быть перефразировано так:

1) Для того чтобы фигура (Р) была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие две последовательности многоугольников

угольников и соответственно, содержащихся в (Р) и содержащих (Р), площади которых имели бы общий предел

Этот предел, очевидно, и будет площадью фигуры (Р).

Иногда вместо многоугольников выгоднее использовать другие фигуры, квадрируемость которых уже установлена:

2) Если для фигуры (Р) можно построить такие две последовательности квадрируемых фигур соответственно, содержащихся в (Р) и содержащих (Р), площади которых имеют общий предел

то фигура также квадрируема, причем упомянутый предел и будет ее площадью.

Это сразу вытекает из предыдущего утверждения, если заменить каждую фигуру содержащимся в ней многоугольником , а фигуру - содержащим ее многоугольником настолько близкими к ним по площади, чтобы одновременно выполнялось и (2).

Рис. 16.

Хотя на практике выбор фигур упоминавшихся в двух сформулированных выше признаках, и не создает затруднений, но все же представляет принципиальный интерес устранение связанной с этим выбором неопределенности. С этой целью можно поступить, например, так:

Заключив рассматриваемую фигуру (Р) внутрь некоторого прямоугольника со сторонами, параллельными координатным осям, разобьем его на части с помощью ряда параллелей его сторонам. Из прямоугольников, целиком содержащихся в области (Р), составим фигуру (А) (на рис. 16 она заштрихована), а из прямоугольников, имеющих с (Р) общие внутренние точки, но могущих частично и выходить из этой области, составим фигуру (В). Эти фигуры представляют, очевидно, частный случай тех многоугольников (А) и (В), о которых была речь в определении понятия площади; их площади А и В зависят от способа разложения на части прямоугольника Будем через обозначать длину наибольшей из диагоналей частичных прямоугольников.

3) Если при обе площади А и В стремятся к общему пределу Р, и только в этом случае, область (Р) будет квадрируема;

при выполнении этого условия упомянутый предел и будет площадью фигуры (Р).

Читатель легко сам выразит понятие предела, которое здесь фигурирует, как «на языке так и «на языке последовательностей».

В доказательстве нуждается только необходимость указанного условия. Допустим же, что площадь Р существует, и установим, что тогда

По заданному найдутся [335] такие многоугольники А и В, что при этом можно предположить, что их контуры не имеют общих точек с контуром (К) фигуры (Р). Обозначим через наименьшее из расстояний между точками контуров обоих многоугольников, с одной стороны, и точками кривой (К) - с другой. Если взять теперь то каждый частичный прямоугольник, хотя бы в одной точке задевающий кривую заведомо лежит вне многоугольника и внутри многоугольника (В). Отсюда следует, что

так что что и приводит к (4).

Ясно, что на равенстве (4) можно было бы построить и самое определение понятия площади, очевидно, равносильное прежнему. Такое определение представляется весьма простым и естественным; недостатком, однако, является его (конечно, кажущаяся) зависимость от ориентации координатных осей.