456. Степенные ряды.

Пусть имеем ряд

где - постоянные комплексные коэффициенты, переменная, изменяющаяся во всей комплексной плоскости. Совершенно так же, как это было сделано в 379 [или 380], для него может быть установлено существование такого неотрицательного числа , что для (если ряд (1) абсолютно сходится, а для (если ряд расходится. Таким образом, если отбросить случай мы имеем при ряд, сходящийся на всей комплексной плоскости, а при конечном - ряд, сходящийся внутри круга, описанного около начала радиусом и расходящийся вне этого круга. Вместо промежутка сходимости здесь появляется круг сходимости, и термин «радиус» впервые оказывается оправданным.

Например, как легко убедиться с помощью признака Даламбера, ряд

абсолютно сходится при любом комплексном значении z, в то время как ряды

имеют радиусы сходимости

На границе круга сходимости поведение степенного ряда может быть различным. Например, из только что приведенных трех рядов - первый расходится во всех точках окружности ибо нарушено основное условие сходимости - общий член не стремится к нулю; второй ряд во всех точках этой окружности абсолютно сходится, так как сходится ряд наконец, третий ряд, если положить в нем в, принимает вид

и (исключая случай сходится [385, 2)], но неабсолютно.

Замечание. Если коэффициенты степенного ряда - вещественные числа (как в приведенных примерах), то ясно, что радиус «круга сходимости» на комплексной плоскости совпадает с прежним радиусом «промежутка сходимости на вещественной оси.

Перечислим теперь дальнейшие теоремы о степенных рядах, которые переносятся на комплексные степенные ряды.

Теоремы 1° и 2° п° 437 сохраняются полностью, так что внутри круга сходимости сумма степенного ряда (1) является непрерывной функцией от

Что же касается теоремы Абеля [437, 6°], то теперь изложим ее в такой форме:

Если ряд (1) сходится в некоторой точке окружности то при приближении точки z к точке изнутри вдоль по радиусу имеем

В частном случае, когда можно считать, что есть вещественная положительная переменная, и доказываемое равенство представится в виде

Если положить , то оно распадается на такие два равенства:

Так как ряды в правых частях сходятся, ввиду предположенной сходимости ряда

то для доказательства этих равенств остается лишь сослаться на обычную теорему Абеля.

Переходя к общему случаю, обозначим через аргумент числа Тогда можно положить: и подлежащее доказательству равенство напишется так:

Если множители в скобках отнести к коэффициентам, то вопрос, очевидно, сведется к уже рассмотренному случаю.

Теперь (не ссылаясь на общую теорему о дифференцировании рядов) непосредственно докажем, что внутри круга сходимости степенной ряд можно дифференцировать почленно , т. е. если для положить

Прежде всего, отметим, что и радиус сходимости последнего ряда также есть в чем легко убедиться, например, с помощью теоремы Коши-Адамара.

Остановимся на определенной точке Имеем:

Если взять q между то можно считать и ; тогда

Ряд сходится, ибо q меньше который (как мы указали) служит

радиусом сходимости и для ряда . В таком случае, применяя признак Вейерштрасса, заключаем о равномерной сходимости ряда (2); в нем при можно перейти к пределу почленно, что и приведет к требуемому результату.

Отсюда уже вытекает, что предложения 8 и 9 п° 438 также переносятся на комплексный случай без изменений.

Таким образом, внутри круга сходимости сумма степенного ряда непрерывна вместе со всеми производными. Иными словами, если мы разлагаем

функцию в ряд по степеням то расстояние от начала до ближайшей к нему точки разрыва функции (или какой-либо ее производной) является естественной границей для радиуса сходимости этого разложения.

В случае прогрессии

такой точкой будет она лежит на вещественной оси, поэтому и раньше было ясно, что радиус сходимости разложения функции не может быть больше единицы. Иначе обстоит дело с прогрессией

Ее сумма терпит разрыв в точках мнимой оси, на расстоянии единицы от начала; оставаясь на вещественной оси, вдоль которой функция -непрерывна вместе со всеми производными, нельзя было уяснить себе, почему радиус сходимости ее разложения равен единице.

Подобного рода примеры, когда переход в комплексную область помогает выяснить истинные причины тех или иных особенностей разложения вещественной функции от вещественной переменной, мы встретим и ниже.

В заключение упомянем, что все правила действий над степенными рядами [445], теорема о подстановке ряда в ряд [446], о делении рядов [448] и, наконец, об обращении степенного ряда [451] сохраняют свою силу и здесь; доказательства, носящие формальный характер, в полной мере годятся и для комплексных степенных рядов.