454. Комплексная варианта и ее предел.

Рассмотрим последовательность состоящую из комплексных чисел и переменную z, принимающую эти значения в порядке возрастания номеров.

Предел такой комплексной варианты определяется в тех же терминах, что и в случае вещественной варианты [23]:

Постоянное число называется пределом варианты если сколь мало бы ни было число для него существует такой номер что все значения с номерами удовлетворяют неравенству

При этом пишут

Точно так же переносятся на рассматриваемый случай определения бесконечно малой и бесконечно большой величин.

Отметим, что теперь не может быть речи о стремлении варианты к бесконечности определенного знака, поскольку комплексным числам знак вообще не приписывается. Если есть бесконечно большая, т. е. то говорят, что (без знака!).

Рассмотрим, например, варианту где z есть комплексное число. Если при этом то если же , то легко видеть, что при (но ) для варианты предела вовсе нет.

Для комплексной варианты легко непосредственно передоказать основные утверждения теории пределов, почти дословно повторяя прежние рассуждения. С другой стороны, все эти утверждения автоматически переносятся на случай комплексной варианты на основании следующей простой теоремы:

Комплексная варианта стремится к пределу тогда и только тогда, когда вещественные варианты стремятся соответственно к пределам а и

Ее доказательство сразу следует из неравенств:

Таким образом исследование комплексной варианты может быть заменено исследованием двух вещественных вариант. В частности, этим путем можно доказать для комплексной варианты и принцип сходимости [39]. Рассмотрим теперь бесконечный ряд

с комплексными членами . Суммой ряда и здесь называется предел частичной суммы

Так, например, для геометрической прогрессии

(где z - комплексное число, отличное от 1), частичная сумма равна

отсюда ясно, что при ряд имеет сумму

а при него (конечной) суммы нет.

Все основные понятия и теоремы пп° 362, 364 (с их доказательствами) сохраняются.

Исследование комплексного ряда может быть сведено к исследованию двух вещественных рядов, на основании теоремы:

Сходимость комплексного ряда

к сумме равносильна сходимости двух вещественных рядов

соответственно, к суммам

Это утверждение, очевидно, есть лишь перефразировка теоремы, доказанной выше в терминах варианты.

Теперь докажем теорему, аналогичную теореме п° 377.

Если сходится положительный ряд

составленный из модулей членов ряда (С), то и этот последний ряд также сходится.

Действительно, ввиду очевидных неравенств

сходимость ряда (С влечет за собой сходимость обоих рядов

Отсюда [377] следует, что сходятся ряды (А) и (В), а тогда - по предыдущей теореме - сходится и ряд (С).

В случае сходимости ряда (С ряд (С) называется абсолютно сходящимся, отметим, что при этом, как мы видели, и ряды (А), (В) также сходятся абсолютно.

Благодаря этой теореме, для комплексных рядов сохраняет свою силу, например, признак Даламбера [377].

На абсолютно сходящиеся комплексные ряды переносятся теорема п° 387 о перемещении членов ряда и правило п° 389 о почленном умножении рядов. В первом случае доказательство осуществляется сведением к вещественным рядам, а во втором - в принципе может быть сохранено прежнее доказательство.

Наконец, аналогичным образом можно на комплексный случай перенести основные понятия и теоремы из теории двойных рядов.