522. Применение к вычислению некоторых интегралов.

Применим вышеизложенную теорию к вычислению некоторых важных интегралов. 1°. Интегралы Эйлера:

Из результатов п° 496, 1) сразу получается:

Положив здесь найдем первый из эйлеровых интегралов:

при частном значении

Для того чтобы отсюда получить значение искомого интеграла любом а, удовлетворяющем неравенствам убедимся в что этот интеграл представляет собой непрерывную функцию а для указанных значений параметра.

При подинтегральная функция сохраняет непрерывность по обеим переменным. Далее, рассматриваемый интеграл сходится равномерно относительно а: при для , а при для Действительно, разбивая интеграл на два: легко видеть, что последние мажорируются, соответственно, интегралами:

Прилагая к интегралу теорему 2, а к интегралу - аналогичную ей теорему для конечного промежутка, убеждаемся в непрерывности обоих интегралов как функций от параметра.

К любому значению можно произвольно приблизиться с помощью значении вида - натуральные, Переходя в формуле (19) к пределу при 1 и используя доказанную непрерьгеность интеграла, найдем окончательно:

Совершенно аналогично, из 496, 2) и 3) получим:

и

2°. Интеграл

Рассмотрим интеграл

Вычислим его с помощью дифференцирования по параметру а. Однако непосредственное применение правила Лейбница приводит здесь к расходящемуся интегралу

Поэтому мы введем «множитель сходимости» и станем искать значение интеграла

Для него дифференцирование по а под знаком интеграла уже дозволительно, ибо соблюдены условия теоремы 3: подинтегральная функция и ее частная производная по а непрерывны по х и а для , а интеграл, получаемый в результате дифференцирования:

сходится равномерно относительно так как мажорируется интегралом не содержащим а.

Итак, для

Интегрируя по а, найдем

(постоянного слагаемого здесь вводить не приходится, так как оба эти выражения при обращаются в нуль).

Эта формула выведена в предположении, что Но, при интеграл I оказывается функцией от к, непрерывной и при это следует по теореме 2 из равномерной сходимости интеграла относительно к при [см. Иными словами,

Если

В частности (при ) и

3°. Интеграл Эйлера-Пуассона

Положив здесь где и - любое положительное число, получим

Умножим теперь обе части этого равенства на и проинтегрируем по и от 0 до

Нетрудно видеть, что перестановка интегралов ведет здесь весьма быстро к результату. В самом деле, после перестановки получим

откуда (так как, очевидно,

Для оправдания произведенной перестановки интегралов попробуем прибегнуть к следствию из теоремы 5 п° 521. Но в то время как интеграл

есть непрерывная функция от для всех интеграл

непрерывен лишь для , а при обращается в 0, терпя в этой точке разрыв. Поэтому применить следствие непосредственно к прямоугольнику нельзя! Мы его применим к прямоугольнику где пользуясь тем, что интеграл

является непрерывной функцией от для всех Этим оправдывается равенство

Остается лишь, уменьшая перейти здесь к пределу при что в правой части можно выполнить под знаком интеграла - на основании следствия п° 518.

4°. Интегралы Лапласа (P. S. Laplace):

Полагая в первом из них

получим

Переставим здесь, по теореме 5, интегрирования по и по

Но внутренний интеграл нам известен [519, 6) (а)]

так что

Вспоминая 497, 8), окончательно находим

Второй интеграл Лапласа получается из первого дифференцированием по параметру

Применение правила Лейбница оправдывается тем, что интеграл сходится равномерно относительно для [517, 16)].

5°. Интегралы Френеля (A. j. Fresnel):

Полагая получим:

станем искать первый из этих интегралов в преобразованной форме.

Заменяя (под знаком интеграла) выражение равным ему интегралом

приведем искомый интеграл к виду:

Перестановка интегралов здесь сразу привела бы к окончательному результату:

Так как непосредственное обоснование такой перестановки требует кропотливых преобразований и оценок, мы предпочтем и здесь (ср. 2°) прибегнуть к «множителю сходимости»

Имеем

На этот раз возможность перестановки интегралов устанавливается с помощью теоремы 5. Остается, наконец, перейти к пределу при что - как легко проверить - может быть проведено под знаком интеграла.

Итак, окончательно

То же значение получается и для интеграла Отсюда