491. Примеры.

1) Интеграл подстановкой приводится к интегралу

Здесь Несобственный интеграл преобразуется в собственный.

2) Вычислить интеграл

подстановкой

Указание. Здесь и искомый интеграл приводится к собственному интегралу

3) Для установления сходимости интеграла выполним в нем замену переменной: Мы получим заведомо сходящийся [476 или 489, 3)] интеграл следовательно, сходится и предложенный интеграл. Интересно отметить, что подинтегральная функция в нем при не стремится ни к какому пределу, колеблясь между - 1 и

Аналогично исчерпывается вопрос о сходимости интеграла . В следующем примере устанавливается более общий результат.

4) Доказать, что интегралы

сходятся, если монотонно возрастает и стремится к при

Прежде всего, для достаточно больших монотонно возрастает; будем считать, что это имеет место уже начиная с . С помощью формулы конечных приращений получаем

следовательно, сама функция при Введем новую переменную так что

если через обозначить функцию, обратную Но производная

монотонно убывает и стремится к 0 при Поэтому преобразованные интегралы

по признаку Дирихле сходятся, а с ними сходятся и предложенные интегралы.

5) Для вычисления интеграла [его сходимость мы уже установили в 483, 5) (б)] разобьем его на два: Во втором из них сделаем подстановку и придем к результату

откуда следует, что предложенный интеграл равен 0.

6) Пусть дан несобственный интеграл

подстановкой он приводится к собственному интегралу

7) Вычисление интеграла

[ср. 472, 2)] может быть очень упрощено применением целесообразных подстановок.

Прежде всего, к нему приводится интеграл

подстановкой так что можно написать

Если теперь прибегнуть к подстановке то сразу получим

8) Для вычисления интеграла естественно положить , т. е. мы придем к только что вычисленному интегралу:

9) Установить формулы:

Указание. Во всех случаях воспользоваться подстановкой Абеля [284].

10) Вопрос о сходимости интегралов

сразу решается, если подстановкой

привести их к интегралам

- оба сходятся при и расходятся при

В следующих упражнениях под разумеется произвольная непрерывная для функция.

11) Доказать, что

если только интегралы сходятся.

Указание. Прибегнуть к подстановке

12) Доказать, что (при

если только интегралы сходятся.

Например, для (а) имеем: , но как в этом легко убедиться подстановкой

13) В предположении, что сходится интеграл справа, доказать формулу

Подстановка дает

Но последний интеграл подстановкой приводится к

так что

Отсюда (ввиду четности подинтегральной функции) и вытекает требуемая формула.

13) В заключение, владея заменой переменной в несобственных интегралах, вернемся к одному незавершенному выше вопросу. В п° 439, 1) мы исследовали на непрерывность функцию

но не установили ее поведения в точке в том случае, когда

Воспользовавшись формулой (10а) в сноске стр. 286, можно оценить сумму ряда снизу с помощью интеграла:

Полагая здесь заменим это неравенство таким:

При интеграл стремится к конечному положительному пределу

а множитель при нем либо равен либо даже стремится к при Так как то справа в точке во всяком случае налицо разрыв; то же - и слева.

Замечание. Интеграл с бесконечным пределом всегда может быть надлежащей подстановкой приведен к интегралу с конечными пределами (собственному или нет). Например, если можно положить

Наоборот, несобственный интеграл с единственной особой точкой всегда может быть приведен к интегралу с бесконечным пределом (без других особых точек). Например, полагая получим: