406. Формула Стирлинга.
В качестве приложения покажем, как с его помощью может быть выведена одна важная формула анализа, носящая имя Стирлинга (J. Stirling).
Возьмем в 
где 
- произвольное натуральное число. Так как тогда
то мы получим разложение
которое можно переписать в виде:
Это выражение, очевидно, больше единицы, но меньше, чем
Итак, имеем:
откуда, потенцируя, найдем
Введем теперь варианту 
. Тогда
и из предыдущих неравенств следует, что
так что, с одной стороны, 
с другой же,
Таким образом с возрастанием и варианта 
убывает (оставаясь ограниченной снизу, например, нулем) и стремится к конечному пределу а, варианта же 
возрастает, стремясь, очевидно, к тому же пределу а (ибо 
Так как при любом и выполняются неравенства
то найдется такое число 0, заключенное между нулем и единицей, что
(Заметим, что число 0, вообще говоря, зависит от 
). Вспоминая определение переменной 
находим:
Остается теперь определить величину постоянной а. С этой целью вспомним формулу Валлиса [317], которую можно записать в виде:
Выражение в скобках преобразуем следующим образом:
подставив сюда вместо 
его выражение по формуле (21), а вместо 
аналогичное выражение
после элементарных упрощений получим
так что
Отсюда:
Подставляя это значение а в формулу (21), мы и придем к формуле Стирлинга
которая позволяет легко оценивать величину факториала и! при больших значениях и.
Для упражнения предлагаем читателю фактически найти сумму ряда
сходимость которого была доказана в п° 367, 9) (б).
Указание. Вычислить 
частичную сумму и, преобразовав ее с помощью формулы Стирлинга, перейти к пределу. Отв. 
