539. Вычисление некоторых определенных интегралов.

Обратимся к рассмотрению некоторых интегралов, при вычислении которых используется функция Г (а) и ее свойства.

1) Дифференцируя по а формулу

мы получили в 531, 1° формулу (8):

Полагая здесь так как получим:

Подстановка и приведет к любопытному интегралу

Если взять и положить то найдем:

как это легко получается из разложения (27) - с учетом логарифмического ряда.

Повторяя дифференцирование по а, мы пришли к равенству (8):

При оно дает нам:

Последний результат получается из (28), если при этом воспользоваться известным рядом Наконец, полагая и здесь с помощью подстановки получим еще такой интеграл:

2) Вычислить интеграл

где есть рациональная дробь с нечетными числителем и знаменателем.

Указание. Воспользоваться формулой Лобачевского [497, 14)]; в согласии с ней

См. 532, 4) (б) Ответ.

3) Вычислить интегралы

Имеем [см. (13)]:

Переставив интегрирования, получим

или, полагая

[см. (4), (5)]. Аналогично

Обоснование перестановки интегралов проводится так же, как и при вычислении интеграла в 524, 11).

4) Вычислить интегралы

Согласно 3), интеграл

Дифференцируя его по параметру s (пользуясь правилом Лейбница), найдем:

Применение правила Лейбница оправдывается равномерной сходимостью полученного интеграла относительно как при (для , см. 515, 4°), так и при мажоранта Продифференцировав полученное равенство еще раз (что обосновывается аналогично), найдем:

Полагая в обоих равенствах найдем значения искомых интегралов

Учитывая, что окончательно будем иметь:

5) Мы имели уже [см. 534, 4 (б)] формулу

Дифференцируя по а [с применением правила Лейбница, 520], получим

Если воспользоваться формулой Гаусса (25), то выражение в скобках перепишется в виде

Положим теперь где - любое натуральное число или нуль, и сделаем подстановку Тогда получим

При эта формула дает уже известный результат:

При мы приходим к новому интегралу

6) Вычислить интегралы

Решение проводится аналогично 8) n° 523. Для функции от как и там, получается дифференциальное уравнение

которое можно переписать в виде:

Легко проверить, что - в силу этого уравнения -

Полагая здесь находим, что . Таким образом,

Приравнивая порознь вещественные и мнимые части, получим, наконец;

где для краткости положено:

Заменяя через или через можно переписать результат

Предлагается получить отсюда интегралы А и В задачи 3), полагая и устремляя а к 0 при угол — будет тогда стремиться к

Дифференцируя по интегралы и, можно получить ряд новых интегралов; предоставляем это читателю.

7) Найденные для интегралов и, значения позволят нам вычислить другие интересные интегралы. Умножим обе части равенства

на

(считая ) и проинтегрируем слева по от 0 до а справа от 0 до . В результате получим

Если переставить справа интегралы, то это сразу приведет к вычислению

интеграла

Из 3) легко установить, что значение внутреннего интеграла будет так что

и, окончательно,

Аналогично можно вывести:

Покажем теперь, как обосновать перестановку интегралов, без чего, разумеется, результат не может считаться установленным. Так как интеграл

сходится равномерно для то

Ввиду существования интеграла внутренний интеграл при стремится к нему, оставаясь ограниченным:

так что все подинтегральное выражение мажорируется функцией

и предельный переход при 0 и допустим под знаком интеграла и т. д.

8) Положим

[см. (25)]. Тогда

(при

Заметив это, рассмотрим интеграл

Его производная по а

Поэтому

Так как при то необходимо следовательно,

Аналогично находятся интегралы

Если в интеграле К взять и сделать подстановку то придем к интегралу

При отсюда получается любопытный интеграл

Приведенных примеров достаточно, чтобы показать, насколько расширяются наши возможности представления интегралов конечной формулой благодаря введению функции Г. Даже в тех случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение ее все же часто облегчается использованием функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.