452. Ряд Лагранжа.

Применим теорему п° 450 к частному уравнению вида

где функция предполагается аналитической в точке Тогда, как мы знаем, для достаточно малых значений х, отсюда у определяется, как функция от х, аналитическая в точке и обращающаяся в этой точке в а.

Пусть, далее, будет какая-либо функция от у, аналитическая при Если вместо у подставить сюда упомянутую функцию от х, то и окажется функцией от х, которая также является аналитической при Поставим себе задачей найти разложение и по степеням х, точнее - найти удобные выражения для коэффициентов этого разложения.

Заметим предварительно, что - при переменном а - из уравнения (25), у определяется как функция двух переменных х и а, аналитическая в точке (0, а). Тогда и переменная и будет функцией от тех же двух переменных.

Дифференцируя (25) по и по а, получим:

откуда, очевидно,

а также и вообще, при

С другой стороны, какова бы ни была функция для которой существует производная по у, имеем:

В этом легко убедиться непосредственно дифференцированием, с ссылкой на тождества (26) и (26а).

Всеми этими замечаниями мы воспользуемся для доказательства важной в дальнейшем формулы:

При она приводится к (26а). Допустим теперь, что она верна для некоторого значения и установим справедливость ее для производной порядка. Дифференцируя (28) по х и пользуясь правом переставлять дифференцирования [190], получаем

Но, в силу (27) и (26а) имеем последовательно

Подставляя это в предыдущее равенство, получим:

Таким образом, формула (28) индуктивно оправдана.

Обратимся, наконец, к интересующему нас разложению функции и по степеням х. При постоянном а оно необходимо имеет вид разложения Тейлора

где указатель 0 означает, что функция и ее производные взяты при Но тогда у обращается в а, так что и затем, по формуле (28),

Подставляя эти значения коэффициентов, мы приходим к разложению:

которое и называется рядом Лагранжа. Оно замечательно тем, что коэффициенты его представлены в виде явных функций от а.

Если то, в частности, получаем

Существует тесная связь между задачей, рассматриваемой в настоящем п°, и задачей обращения степенного ряда. Если (в предположении, что переписать уравнение (25) в виде

то задача Лагранжа окажется равносильна обращению этого ряда, расположенного по степеням Наоборот, если поставлена задача обращения степенного ряда

то, переписав это соотношение так:

обозначим сумму ряда в скобках через Тогда приходим к уравнению типа (25)

здесь и кроме того, х и у обменялись ролями. Последнее замечание важно потому еще, что позволяет сразу дать общее выражение для результата

обращения по формуле (29а):

Приведем примеры.

1) Начнем именно с использования формулы (30). Пусть дано уравнение

или

Так как

то приходим к такому разложению:

То же разложение получается, если решить квадратное уравнение относительно х, выбрав то из его значений, которое обращается в 0 вместе с у.

2) Будем исходить из уравнения типа (25)

так что здесь Полагая по формуле Лагранжа (29) найдем У

Так как данное уравнение приводится к квадратному:

то, очевидно,

Например, если то получается (по умножении на ) такое разложение:

3) В теоретической астрономии важную роль играет уравнение Кеплера:

где Е есть эксцентрическая аномалия планеты, М - ее средняя аномалия, а - эксцентриситет планетной орбиты. Воспользовавшись рядом Лагранжа (29а), можно найти разложение Е по степеням эксцентриситета, с коэффициентами, зависящими от М:

Здесь представляет важность знать точные размеры промежутка сходимости: Лаплас [P. S. Laplace] первый установил, что сходимость имеет место для

4) Наконец, рассмотрим уравнение

Его решение, обращающееся в х при будет

Разложение этой функции по степеням а имеет вид:

Продифференцируем обе части этого равенства по (причем из аналитического характера у как функции от двух переменных а и х, можно заключить, что для ряда допустимо почленное дифференцирование). Мы получим разложение

Его коэффициентами, как мы в этом случае непосредственно усматриваем [ср. 447, 8)], являются многочлены Лежандра: