311. Формулы приведения.

Мы видели, что основная формула при благоприятных условиях сразу дает значение определенного интеграла. С другой стороны, с ее помощью различные формулы приведения в теории неопределенных интегралов преобразуются в аналогичные формулы уже в определенных интегралах, сводящие вычисление одного определенного интеграла к вычислению другого (вообще более простого).

Мы имеем в виду прежде всего формулу интегрирования по частям

и ее обобщение [270 (3) и (5)], а также другие формулы приведения [271 (6); 280; 287], частично на ней же основанные. Общая форма их такова:

Если областью применения подобной формулы является промежуток , то ей в определенных интегралах отвечает формула

При этом функции будем считать непрерывными.

Для доказательства обозначим последний интеграл в формуле (4) через Тогда

Так как, в то же время,

то мы и приходим к доказываемой формуле.

В частности, формула интегрирования по частям примет теперь вид

а обобщенная формула перейдет в такую:

при этом по-прежнему функции и, и все встречающиеся их производные предполагаются непрерывными.

Формула (5), устанавливающая соотношение между числами, принципиально проще формулы (4), в которой участвуют функции; она особенно выгодна, если двойная подстановка равна нулю.