264. Интеграл и задана об определении площади.

Гораздо важнее истолкование первообразной функции как площади криволинейной фигуры. Так как исторически понятие первообразной функции было теснейшим образом связано с задачей об определении площади, то мы остановимся на этой задаче уже здесь (пользуясь интуитивным представлением о площади плоской фигуры и откладывая точную постановку этого вопроса до главы X).

Пусть дана в промежутке непрерывная функция принимающая лишь положительные (неотрицательные) значения.

Рассмотрим фигуру (рис. 2), ограниченную кривой двумя ординатами и отрезком оси подобную фигуру будем называть криволинейной трапецией. Желая определить величину площади Р этой фигуры, мы изучим поведение площади переменной фигуры заключенной между начальной ординатой и ординатой, отвечающей произвольно выбранному в промежутке значению х.

Рис. 2.

При изменении х эта последняя площадь будет соответственно изменяться, причем каждому отвечает вполне определенное ее значение, так что площадь криволинейной трапеций является некоторой функцией от обозначим ее через

Поставим себе сначала задачей найти производную этой функции. С этой целью придадим х некоторое (скажем, положительное) приращение тогда площадь получит приращение .

Обозначим через и М, соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции в промежутке и сравним площадь с площадями прямоугольников, построенных на основании и имеющих высоты и М. Очевидно,

откуда

Если то, вследствие непрерывности, и М будут стремиться к , а тогда и

Таким образом, мы приходим к замечательной теореме (обычно называемой теоремой Ньютона и Лейбниц а): производная от переменной площади по конечной абсциссе х равна конечной ординате

Иными словами, переменная площадь представляет собой первообразную функцию для данной функции . В ряду других первообразных эта первообразная выделяется по тому признаку, что она обращается в 0 при Поэтому, если известна

какая-либо первообразная для функции и по теореме предыдущего п°

то постоянную С легко определить, положив здесь , так что

Окончательно

В частности, для получения площади Р всей криволинейной трапеции нужно взять

В виде примера, найдем площадь фигуры, ограниченной параболой ординатой, отвечающей данной абсциссе х, и отрезком оси х (рис. 3); так как парабола пересекает ось х в начале координат, то начальное значение х здесь 0. Для функции легко найти первообразную: . Эта функция как раз и обращается в 0 при так что

Ввиду той связи, которая существует между вычислением интегралов и нахождением площадей плоских фигур, т. е. квадратурой их, стало обычным и самое вычисление интегралов называть квадратурой.

Рис. 3.

Для распространения всего сказанного выше на случай функции, принимающей и отрицательные значения, достаточно условиться считать отрицательными площади частей фигуры, расположенных под осью х.

Таким образом, какова бы ни была непрерывная в промежутке функция читатель всегда может представить себе первообразную для нее функцию в виде переменной площади фигуры, ограниченной графиком данной функции. Однако считать эту геометрическую иллюстрацию доказательством существования первообразной, разумеется, нельзя, поскольку самое понятие площади еще не обосновано.

В следующей главе [305] мы сможем дать строгое и притом чисто аналитическое доказательство того важного факта, что каждая

прерывная в данном промежутке функция имеет в нем первообразную. Это утверждение мы принимаем уже сейчас.

В настоящей главе мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций. Если функция задана конкретно и имеет точки разрыва, то рассматривать ее будем лишь в промежутках ее непрерывности. Поэтому, допустив сформулированное вьппе утверждение, мы освобождаемся от необходимости всякий раз оговаривать существование интегралов: рассматриваемые нами интегралы все существуют.