300. Примеры и дополнения.

В качестве упражнения приведем еще примеры применения признака п° 297 к конкретным функциям.

1) Вернемся к функции, рассмотренной в 70, 8): если х есть несократимая правильная дробь и равно 0 в прочих точках промежутка [0, 1].

Пусть промежуток [0, 1] разбит на части с длинами Возьмем произвольное натуральное число Все частичные промежутки распределим на два класса:

(а) К первому отнесем промежутки, содержащие числа — со знаменателями так как таких чисел существует лишь конечное число то и промежутков первого рода будет не больше а сумма их длин не превзойдет

(б) Ко второму отнесем промежутки, не содержащие указанных чисел; для них колебание он, очевидно, меньше

Если соответственно этому разложить сумму на две и оценить каждую порознь, то получим в результате

Взяв сначала а затем , будем иметь что доказывает интегрируемость функции.

Пример этот интересен тем, что функция здесь имеет бесчисленное множество точек разрыва и все же интегрируема. [Впрочем, примеры такого рода можно построить и на основе теоремы III.]

2) Теперь рассмотрим вновь функцию Дирихле [46; 70, 7)] если х - рациональное число, и 0, если х иррационально. Так как в любой части промежутка [0, 1] колебание этой функции той так что функция заведомо не интегрируема.

3) Критерий существования определенного интеграла, выведенный в 297, может быть представлен в следующей форме:

Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы по заданным числам можно было найти такое что, лишь только все сумма

длин тех промежутков, которым отвечают колебания

Необходимость ясна из неравенства

если, за счет выбора сделать первую сумму меньшей чем . Достаточность же вытекает из оценок:

(Здесь как всегда, означает колебание функции во всем рассматриваемом промежутке; значком отмечены частичные промежутки, в которых колебания

4) Применим критерий в этой новой форме к доказательству следующего предложения:

Если функция интегрируема в промежутке причем значения ее не выходят за пределы промежутка в котором непрерывна функция то сложная функция также интегрируема в

Возьмем по произволу числа По числу в силу непрерывности функции найдется такое что в любом промежутке значений у с длиной колебание функции будет .

Ввиду интегрируемости функции по числам и а теперь найдется такое что лишь только промежуток разбит на части с длинами сумма длин тех из них, для которых колебания функции сама меньше а [см. 3)]. Для прочих промежутков имеем а следовательно, по самому выбору числа . Таким образом, для сложной функции колебания могут оказаться лишь в некоторых из промежутков первой группы, сумма длин которых заведомо а. Применяя к сложной функции критерий 3), убеждаемся в ее интегрируемости.

5) Если и относительно функции предположить лишь интегрируемость, то сложная функция может оказаться и неинтегрируемой. Вот пример:

В качестве функции возьмем ту, которая была уже изучена выше в 1); она интегрируема в промежутке [0, 1], причем значения ее также не выходят за пределы этого промежутка. Далее, пусть

и

Функция также интегрируема в [0, 1].

Сложная же функция как легко видеть, совпадает с функцией Дирихле [см. 2)]: она не интегрируема в [0, 1].