360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений.

Ограничиваясь уравнением первого порядка вида (8), мы остановимся на вопросе о составлении подобного уравнения. Наши замечания по этому поводу читатель сопоставит со сказанным в 348 относительно простейшего уравнения

Как правило, при составлении уравнений приходится рассматривать бесконечно малые элементы входящих в рассмотрение тел и бесконечно малые приращения тех величин, о которых идет речь. Правда, в задачах предыдущего п° нам, как будто, удалось избежать этого, но лишь ценой использования уже готового выражения для углового коэффициента касательной, готового выражения для скорости изменения той или иной величины, которые сами появились из рассмотрения бесконечно малых элементов.

При установлении зависимости между бесконечно малыми элементами следует пользоваться всеми возможными упрощающими допущениями и приближенными заменами, сводящимися в сущности к отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. В частности, все бесконечно малые приращения рассматриваемых величин рекомендуется заменить их дифференциалами; как читатель знает, это также сводится к отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. Истинный смысл всех этих указаний лучше всего выяснится на примерах (см. следующий п°).

Здесь же мы хотим остановиться еще на разъяснении того важного обстоятельства, что получающееся в результате всех этих упрощений и отбрасываний дифференциальное уравнение вида (8)

оказывается отнюдь не приближенным, а вполне точным.

Итак, предположим, что заменяя приращения дифференциалами отбрасывая - в случае надобности - бесконечно малые слагаемые в , чем порядка, мы пришли к уравнению (8). Если бы мы не делали этой замены, то вместо имели бы Восстановим, сверх того, все отброшенные бесконечно малые высших порядков и, перенеся в правую часть, обозначим их сумму через а; очевидно, а также будет бесконечно малой высшего порядка. Таким образом, рассуждая строго, мы пришли бы не к равенству (8), а к такому:

которое вполне точно. Разделим теперь обе части его на

и перейдем к пределу при . Так как при то в пределе получим равенство

которое тождественно с (8). Поэтому и уравнение (8) оказывается точным.

Хотя при обычном методе составления уравнения мы явным образом не прибегаем к предельному переходу, но фактически мы его именно и выполняем, когда

отбрасываем бесконечно малые высших порядков и заменяем приращения дифференциалами.

Обращаем внимание читателя на то, что мы вовсе не утверждаем, что всякое отбрасывание бесконечно малых высшего порядка приводит к точному результату. Лишь в том случае, если это отбрасывание доведено «до конца», и в результате получилось уравнение вида (8), линейное и однородное относительно дифференциалов, можно уже ручаться за его точность. [Опять аналогия с п° 348!]