найдем такое число 
чтобы имело место (3). Тогда при 
будем иметь
что и доказывает формулу (9).
Формула (9) может быть переписана в виде:
При наличии ее говорят, что предельный переход по параметру допустим под знаком интеграла.
Предполагая, что все 
имеем:
Следствие. Если функция 
при постоянном у непрерывна по 
и при возрастании у стремится к непрерывной же предельной функции, монотонно возрастая, то справедлива формула (9).
Ссылка на обобщенную теорему Дини [504, 4°].
В предположении, что область сама представляет собой конечный промежуток 
рассмотрим в заключение вопрос о непрерывности функции (1).
Теорема 2. Если функция 
определена и непрерывна, как функция от двух переменных, в прямоугольнике 
то интеграл (1) будет непрерывной функцией от параметра у в промежутке 
Доказательство. Ввиду равномерной непрерывности функции 
по произвольному 
найдется такое 
что из неравенств
следует неравенство
Положим, в частности, 
тогда при 
каково бы ни было х, будем иметь
Таким образом, функция 
при стремлении у к любому частному значению 
стремится к 
равномерно
относительно 
В таком случае, по теореме 1,
или
что и доказывает наше утверждение.
Так, например, не вычисляя интегралов
сразу видим, что они представляют собой непрерывные функции от параметра у для любых положительных его значений.
и функции, интегрируемой в собственном смысле.
поставим вопрос о пределе функции (1) при 
при постоянном у интегрируема по 
и при 
стремится к предельной функции (2) равномерно относительно х, то имеет место равенство
уже известна 
Задавшись произвольным числом 
