506. Предельный переход под знаком интеграла.

Обращаемся теперь к рассмотрению интеграла (1), зависящего от параметра у, ограничиваясь вначале случаем конечного промежутка и функции, интегрируемой в собственном смысле.

Предполагая, что область изменения параметра имеет точку сгущения поставим вопрос о пределе функции (1) при

Теорема 1. Если функция при постоянном у интегрируема по и при стремится к предельной функции (2) равномерно относительно х, то имеет место равенство

Доказательство. Интегрируемость предельной функции уже известна Задавшись произвольным числом

найдем такое число чтобы имело место (3). Тогда при будем иметь

что и доказывает формулу (9).

Формула (9) может быть переписана в виде:

При наличии ее говорят, что предельный переход по параметру допустим под знаком интеграла.

Предполагая, что все имеем:

Следствие. Если функция при постоянном у непрерывна по и при возрастании у стремится к непрерывной же предельной функции, монотонно возрастая, то справедлива формула (9).

Ссылка на обобщенную теорему Дини [504, 4°].

В предположении, что область сама представляет собой конечный промежуток рассмотрим в заключение вопрос о непрерывности функции (1).

Теорема 2. Если функция определена и непрерывна, как функция от двух переменных, в прямоугольнике то интеграл (1) будет непрерывной функцией от параметра у в промежутке

Доказательство. Ввиду равномерной непрерывности функции по произвольному найдется такое что из неравенств

следует неравенство

Положим, в частности, тогда при каково бы ни было х, будем иметь

Таким образом, функция при стремлении у к любому частному значению стремится к равномерно

относительно В таком случае, по теореме 1,

или

что и доказывает наше утверждение.

Так, например, не вычисляя интегралов

сразу видим, что они представляют собой непрерывные функции от параметра у для любых положительных его значений.