542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г.

Укажем вкратце путь для составления упомянутой таблицы.

Вернемся к формуле (27), которую, заменяя а на , напишем в виде

Последовательным дифференцированием придем к формуле для производной

(равномерная сходимость получаемых рядов оправдывает почленное дифференцирование).

Таким образом, находим коэффициенты ряда Тейлора:

Тогда для будем иметь:

Так как числа (особенно для больших близки к 1, то выгодно прибавить почленно разложение (также справедливое для )

что дает нам

Умножив на модуль М и полагая

получим

Заменяя в на -а, вычтем получаемое разложение

из предыдущего. Так как, по формуле дополнения,

то найдем:

Лежандр дал значения коэффициентов и их логарифмы и вычислил с помощью формул (43) и (44) десятичные логарифмы для а от 1 до 2 через 0,001, сначала с 7, а затем и с 12 десятичными знаками.

Заканчивая этим изучение функции «Гамма», мы видим, что, исходя из ее представления с помощью интеграла, содержащего параметр а, мы не только ознакомились с глубокими ее свойствами, но и научились вычислять ее. Новая функция эта является в такой же мере освоенной нами, как и элементарные функции.