425. Примеры.

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Макеты страниц

425. Примеры.

1) Пусть положительная монотонно убывающая последовательность, сходящаяся к 0. Положим

Доказать, что знакопеременный ряд

суммируем по методу Чезаро (1-го порядка), и его «обобщенная сумма» равна половине суммы сходящегося ряда лейбницевского типа

[Харди (G. Н. Hardy)].

Указание. Подсчитать среднее арифметическое первых частичных сумм данного ряда; оно представится в виде

и, по теореме Коши [33, 13)], стремится к — а. Затем легко уже показать, что к тому же пределу стремится и среднее первых частичных сумм.

2) Взяв или установить на основании теоремы 1), что расходящиеся ряды

оба суммируемы по методу Чезаро, и их «обобщенные суммы» соответственно равны

Указание. Во втором случае используется формула Валлиса [317].

3) С помощью той же теоремы доказать, что при расходящийся ряд Дирихле

суммируется по методу Чезаро.

Указание. Представить в виде суммы

и методами дифференциального исчисления доказать, что с возрастанием варианта убывает (при этом, ввиду 32, 5), она стремится к

4) Если «разбавить» члены сходящегося ряда нулями, то это никак не отразится ни на сходимости ряда, ни на его сумме. Как видно из следующих примеров, с обобщенным суммированием расходящегося ряда дело может обстоять иначе. Рассмотрим ряды

Про первый ряд мы уже знаем, что его «обобщенная сумма» по Чезаро равна 1/2. Показать, что ряд имеет уже другую сумму, именно 1/3, а ряд (в) вовсе не суммируем по Чезаро.

Указание. В случае ряда (в), при изменении от до среднее арифметическое первых членов колеблется

5) Считая к любым натуральным числом, рассмотрим ряд

и докажем, что не суммируется методом Чезаро порядка, но суммируется (к «сумме методом Чезаро порядка.

Используя равенство (18) и - дважды - равенство (19) (в первый раз заменяя х на , а второй раз х на последовательно получим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в первом и в последнем из этих рядов [мы пользуемся здесь «теоремой о тождестве степенных рядов», которая будет доказана лишь ниже, в 437, 3°], приходим к заключению, что

Таким образом,

и предложенный ряд не имеет обобщенной суммы Чезаро порядка.

С другой стороны, ввиду (21), (15) и (14) как для так и для будет Отсюда

то же справедливо и для что и доказывает наше утверждение.

где к - любое натуральное число, также суммируем по методу Чезаро (к порядка. Это можно установить, опираясь на предыдущий результат. Действительно, разложим по степеням

здесь - постоянные коэффициенты, причем Написав еще ряд таких равенств, заменяя на легко затем, наоборот, представить в виде суммы

с постоянными коэффициентами . Но тогда

Так как все ряды суммируемы по методу Чезаро порядка (мы учитываем здесь свойства методов Чезаро последовательных порядков!), то ввиду линейности названного метода это справедливо и для предложенного ряда.