425. Примеры.
1) Пусть 
положительная монотонно убывающая последовательность, сходящаяся к 0. Положим
Доказать, что знакопеременный ряд
суммируем по методу Чезаро (1-го порядка), и его «обобщенная сумма» равна половине суммы сходящегося ряда лейбницевского типа
[Харди (G. Н. Hardy)].
Указание. Подсчитать среднее арифметическое первых 
частичных сумм данного ряда; оно представится в виде
и, по теореме Коши [33, 13)], стремится к — а. Затем легко уже показать, что к тому же пределу стремится и среднее первых 
частичных сумм.
2) Взяв 
или 
установить на основании теоремы 1), что расходящиеся ряды
и
оба суммируемы по методу Чезаро, и их «обобщенные суммы» соответственно равны 
Указание. Во втором случае используется формула Валлиса [317].
3) С помощью той же теоремы доказать, что при 
расходящийся ряд Дирихле
суммируется по методу Чезаро.
Указание. Представить 
в виде суммы
и методами дифференциального исчисления доказать, что с возрастанием 
варианта 
убывает (при этом, ввиду 32, 5), она стремится к 
4) Если «разбавить» члены сходящегося ряда нулями, то это никак не отразится ни на сходимости ряда, ни на его сумме. Как видно из следующих примеров, с обобщенным суммированием расходящегося ряда дело может обстоять иначе. Рассмотрим ряды
Про первый ряд мы уже знаем, что его «обобщенная сумма» по Чезаро равна 1/2. Показать, что ряд 
имеет уже другую сумму, именно 1/3, а ряд (в) вовсе не суммируем по Чезаро.
Указание. В случае ряда (в), при изменении 
от 
до 
среднее арифметическое первых 
членов колеблется
5) Считая к любым натуральным числом, рассмотрим ряд
и докажем, что 
не суммируется методом Чезаро 
порядка, но суммируется (к «сумме 
методом Чезаро 
порядка.
Используя равенство (18) и - дважды - равенство (19) (в первый раз заменяя х на 
, а второй раз х на 
последовательно получим:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в первом и в последнем из этих рядов [мы пользуемся здесь «теоремой о тождестве степенных рядов», которая будет доказана лишь ниже, в 437, 3°], приходим к заключению, что
Таким образом,
и предложенный ряд не имеет обобщенной суммы Чезаро 
порядка.
С другой стороны, ввиду (21), (15) и (14) как для 
так и для 
будет 
Отсюда
то же справедливо и для 
что и доказывает наше утверждение.
где к - любое натуральное число, также суммируем по методу Чезаро (к 
порядка. Это можно установить, опираясь на предыдущий результат. Действительно, разложим 
по степеням 
здесь - постоянные коэффициенты, причем 
Написав еще ряд таких равенств, заменяя 
на 
легко затем, наоборот, представить 
в виде суммы
с постоянными коэффициентами 
. Но тогда
Так как все ряды 
суммируемы по методу Чезаро 
порядка (мы учитываем здесь свойства методов Чезаро последовательных порядков!), то ввиду линейности названного метода это справедливо и для предложенного ряда.
Самое вычисление «обобщенной суммы мы в состоянии будем осуществить лишь впоследствии [449].
Приведем еще несколько простых примеров на непосредственное применение методов Гельдера, Бореля и Эйлера.
7) Просуммировать по методу Гельдера ряды
и
Ответ, (а) Двукратное усреднение дает 1/4.
(б) Трехкратное усреднение дает 1/8.
8) Просуммировать ряд 
по методу Бореля.
Ответ, 
9) Просуммировать по методу Эйлера ряды
Указание. Во всех случаях удобно воспользоваться преобразованием Эйлера в форме (20).
Ответ, 
для 
