523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла.

1) Исходя из известных интегралов (при )

путем последовательного дифференцирования их по параметру вывести новые интегралы.

(а) Решение. По правилу Лейбница, после -кратного дифференцирования, найдем:

Так как получающиеся при этом интегралы все равномерно сходятся относительно а, для (например, написанный интеграл мажорируется интегралом , то применение правила Лейбница оправдано,

(б) Ответ. .

(в) Ответ.

2) Дифференцированием по параметру вычислить интегралы

(а) Решение. Производная по выражается интегралом (сходящимся равномерно относительно

отсюда

Так как при интеграл обращается в 0, то и окончательно

(б) Дифференцируя Н по а под знаком интеграла, получим:

Применение правила Лейбница законно, ибо условия теоремы 3 соблюдены, как в этом легко убедиться.

Преобразуя произведение синуса на косинус в разность двух синусов, сведем полученный интеграл к интегралам знакомого нам вида [522, 2°]:

Интегрируем по а:

Постоянная (ибо при

3) Вычислить интеграл

Указание. Рассмотреть более общий интеграл, введя параметр:

вычислить его с помощью дифференцирования, а затем положить

Ответ.

4) Вычислить интегралы:

(а) Указание. непрерывен по а для мажоранта для Производная для

мажоранта для

Ответ.

Указание. Производная при

мажоранта Ответ.

(в) Указание. Производная по а приводится к интегралу типа

Ответ.

Замечание. Из при подстановкой получается интеграл

а отсюда интегрированием по частям находим вновь [ср. 492, 10]:

5) (а) Вычислить интеграл

Решение. Имеем

Интегрируя по частям, получим затем:

Таким образом, для определения получилось простое дифференциальное уравнение с отделяющимися переменными [358]. Интегрируя, находим

Так как при должно быть то именно этому и равно С. Окончательно,

(б) Если тот же прием применить к вычислению интеграла то придем к дифференциальному уравнению

Умножив обе его части на слева получим, очевидно, производную от произведения по интегрируя от 0 до найдем

(так как при Таким образом,

Здесь для выражения интеграла пришлось ввести новую, «неэлементарную» функцию

6) Вычислить интеграл

Решение. Искомый интеграл лишь множителем отличается от интеграла

где (подстановка

Имеем:

(подстановка Отсюда

Ответ. [Ср. 497, 8)].

7) Вычислить интеграл

Решение. Дифференцируя по а и по порознь, получим:

Нетрудно по этим частным производным восстановить самую функцию

где С не зависит ни от а, ни от Так как при будет то

так что

8) Вычислить интегралы

Решение. Найдем производные этих интегралов по параметру пользуясь правилом Лейбница:

Интегрированием частям отсюда легко получить

или - решая эти уравнения относительно производных -

Таким образом, для определения неизвестных функций и, от мы получили систему дифференциальных уравнений.

Вводя комплексную функцию от вещественной переменной 6, легко свести дело к одному уравнению (с отделяющимися переменными). Именно, если второе из уравнений (20) умножить на и почленно сложить с первым, то придем к уравнению

Его можно интегрировать обычным путем, отделяя переменные. Чтобы избежать пользования логарифмами комплексных чисел, можно и непосредственно убедиться, что

в силу дифференциального уравнения, откуда

Полагая легко найти так что

Под символом мы разумеем те ветви корней, которые при обращаются в арифметический корень

Известно, что

таким образом,

Приравнивая отдельно вещественные и мнимые части, получим, наконец:

Эти формулы выведены нами при существенном предположении, что так как оба интеграла, как легко убедиться с помощью теоремы 2 [см. и 515, °], являются непрерывными функциями от а и при то, переходя в полученных авенствах к пределу при 0, найдем (если

интегралы Френеля [ср. 522, 5°].

9) Покажем, как с помощью дифференциального уравнения могут быть просто лчислены интегралы Лапласа [ср. 522, 4°]:

Мы уже видели, что

Дальнейшее дифференцирование по производить под знаком интеграла невозможно, ибо в результате такого дифференцирования получился бы уже расходящийся интеграл.

Однако если к написанному равенству почленно прибавить равенство

[522, 2°], то получим:

Здесь дифференцировать под знаком интеграла снова можно и таким путем мы найдем

т. е.

Для этого простого дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, по корням «характеристического уравнения», легко составить общее решение

где - постоянные. Но при всех значениях (1 величина у ограничена:

значит необходимо равно 0 (ибо иначе, при и величина у безгранично возрастала бы).

Для определения же постоянной положим очевидно:

Окончательно,

Отсюда дифференцированием получается и

10) Вычислить интегралы

Существование и непрерывность интегралов при всех значениях а обеспечивается наличием мажоранты: По правилу Лейбница:

Второй интеграл сходится равномерно - как при так и при - для всех значений а, значит, первый сходится равномерно - как при таки при - для значений а, удовлетворяющих неравенствам Таким образом, для а применение правила Лейбница оправдано.

Дальнейшее дифференцирование по а (которое оправдывается аналогично) даст нам:

Точно так же

Полагая имеем для определения дифференциальное уравнение

составим «характеристическое» уравнение: и по корням его напишем общее решение дифференциального уравнения.

Так как функция при всех а ограничена, то необходимо: ; но при должно так что Окончательно,

11) Доказать тождество

Обозначим первый интеграл через и, а второй - через Полагая в и: преобразуем его к виду:

Введем новую переменную и в полагая получим

Продифференцировав по а (по правилу Лейбница), представим производную в виде

откуда для определения получается линейное дифференциальное уравнение

Умножив обе части его на («интегрирующий») множитель придем к равенству

если проинтегрировать его по а от 0 до а, то получим:

где под «о разумеется предельное значение

Так как это же число есть значение интеграла то для окончательно получается

т. е. то же выражение, что для .

12) Доказать тождество (при )

Оба интеграла, как функции от к, удовлетворяют дифференциальному уравнению

По отношению к первому в этом убеждаемся, дважды дифференцируя его по правилу Лейбница. По отношению ко второму проще исходить из его представления в виде:

Так как разность обоих предложенных интегралов удовлетворяет однородному уравнению: то она имеет форму

где - постоянные. Но оба интеграла, а с ними и их разность z, стремятся при Отсюда и требуемое тождество доказано.