ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 1. Длина кривой
329. Вычисление длины кривой.
Пусть на плоскости параметрическими уравнениями
задана непрерывная простая кривая 
. В первом томе [247] было установлено понятие длины кривой как точной верхней границы 
периметров, вписанных в кривую ломаных
В предположении, что функции (1) имеют непрерывные производные, было доказано [248], что кривая спрямляема, т. е. длина дуги конечна. Больше того, если рарсмотреть переменную дугу 
, где М - любая точка кривой, отвечающая значению 
параметра, то было установлено, что длина
есть дифференцируемая функция от 
производная которой выражается так:
или - короче -
[248 (10)] и, очевидно, тоже непрерывна.
Владея понятием интеграла, мы можем теперь перейти и к вычислению длины s кривой 
По основной формуле интегрального исчисления, сразу получим
или
Длина переменной дуги 
о которой выше шла речь, как легко понять, выразится формулой
Может случиться, что за начальную точку отсчета дуг берется какая-либо внутренняя точка 
. Если 
по-прежнему определяет именно эту точку (в этом случае 
уже не будет концом промежутка, где изменяется 
то формула (5) дает, очевидно, величину дуги 
со знаком, именно, со знаком плюс, если 
и точка М лежит с положительной стороны от начала отсчета дуг 
и со знаком минус, если 
и точка М лежит с отрицательной стороны от 
Если кривая задана явным уравнением в прямоугольных координатах
то, принимая х за параметр, из формулы (4), как ее частный случай, получим
Наконец, случай полярного задания кривой
как известно, также приводится к параметрическому с помощью обычных формул перехода
роль параметра здесь играет 
. Для этого случая
Легко для этих двух частных случаев задания кривой написать и выражения для величины переменной дуги 
если М отвечает абсциссе х или полярному углу 
:
