§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов

498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей.

Выше, в 322 - 328, нами изучены были различные приемы для приближенного вычисления определенных интегралов в собственном смысле. К несобственным интегралам эти приемы и указанные для них оценки погрешностей непосредственно неприменимы. Иногда удается, путем замены переменной или интегрирования по частям,

свести несобственный интеграл к собственному. Тогда и приближенное вычисление несобственного интеграла приводится к уже знакомой задаче.

Во многих случаях приближенное вычисление несобственного интеграла (с конечными пределами) облегчается путем выделения особенностей

Последний прием состоит в подыскании функции простого вида, которая как бы впитывает в себя все особенности функции так что разность оказывается уже лишенной особенностей, т. е. интегрируемой в собственном смысле. При этом выбором функции стараются распорядиться так, чтобы интеграл от выражался в конечном виде, а функция имела нужное число производных, чтобы при приближенном вычислении интеграла от нее можно было использовать существующие формулы для погрешности.

Подбор функции производится различным образом, смотря по случаю. В виде примера мы укажем общее правило построения этой функции для одного часто встречающегося класса интегралов.

Пусть подинтегральная функция имеет вид:

где для разлагается в степенной ряд

Тогда полагаем

и

Интеграл от берется легко; с другой стороны, очевидно, имеет в включая в точку непрерывных производных.