§ 4. Свойства сходящихся рядов

386. Сочетательное свойство.

Понятие суммы бесконечного ряда существенно отличается от понятия суммы конечного числа слагаемых (рассматриваемого в арифметике и алгебре) тем, что включает в себя предельный переход. Хотя некоторые свойства обычных сумм переносятся и на суммы бесконечных рядов, но чаще всего лишь при выполнении определенных условий, которые и подлежат изучению. В иных же случаях привычные нам свойства сумм разительным образом нарушаются, так что, вообще, в этом вопросе надлежит соблюдать осторожность.

Рассмотрим сходящийся ряд

и станем объединять его члены произвольным образом в группы, не меняя при этом их расположения:

Здесь есть некоторая, извлеченная из натурального ряда, частичная возрастающая последовательность номеров.

Теорема. Ряд, составленный из этих сумм:

всегда сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Иными словами: сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.

Действительно, последовательность частичных сумм нового ряда

есть не что иное, как частичная последовательность

сумм исходного ряда. Этим [40] и доказывается наше утверждение.

Мы видим - пока - полную аналогию с обычными суммами; но эта аналогия нарушается, если мы попытаемся применять сочетательное свойство, так сказать, в обратном порядке. Если дан сходящийся ряд (А), члены которого каждый в отдельности представляют собой сумму конечного числа слагаемых, то, опустив скобки, мы получим новый ряд (А), который может оказаться и расходящимся.

Вот простые тому примеры: ряды

и

очевидно, сходятся, между тем как полученный из них опусканием скобок ряд

будет расходящимся.

Конечно, если - опустив скобки - мы получим сходящийся ряд (А), то его сумма будет та же, что и у ряда (А). Это вытекает из данного выше.

При некоторых условиях можно наперед гарантировать, что ряд (А) будет сходиться. Простейшим случаем этого рода является тот, когда все слагаемые в (А) внутри одних и тех же скобок будут одного знака.

Действительно, тогда при изменении от до частичная сумма будет изменяться монотонно, следовательно, будет содержаться между При достаточно большом эти последние суммы произвольно мало разнятся от суммы А ряда (А), следовательно, то же справедливо и относительно суммы при достаточно большом так что

Этим замечанием мы не раз будем пользоваться в последующем.

Рассмотрим и сейчас такой

Пример. Установить сходимость ряда

Здесь сначала идут 3 отрицательных члена, за ними 5 положительных и т. д. Если объединить каждую такую группу членов одного знака в один член, то получится знакопеременный ряд

Легко установить неравенство

например, так как сумма первых к слагаемых меньше, чем , а сумма последних слагаемых меньше, чем то вся сумма, действительно, будет меньше, чем Отсюда заключаем, что члены ряда (1) будут стремиться к нулю, монотонно убывая по абсолютной величине. Тогда, по теореме Лейбница, ряд (1) сходится, следовательно, в силу сделанного выше замечания, сходится и предложенный ряд.