377. Абсолютная сходимость.

Мы видели в предыдущем параграфе, что в отношении положительных рядов сходимость, по большей части, устанавливается легко, благодаря наличию ряда удобных признаков. Поэтому естественно начать с тех случаев, когда вопрос о сходимости данного ряда приводится к вопросу о сходимости положительного ряда.

Если члены ряда не все положительны, но начиная с некоторого места становятся положительными, то отбросив достаточное количество

начальных членов ряда [364, 1°], сведем дело к исследованию положительного ряда. Если члены ряда отрицательны или, по крайней мере, с некоторого места становятся отрицательными, то мы вернемся к уже рассмотренным случаям путем изменения знаков всех членов [364, 3°]. Таким образом, существенно новым случаем будет тот, когда среди членов ряда есть бесконечное количество как положительных, так и отрицательных членов. Здесь часто бывает полезна следующая общая

Теорема. Пусть дан ряд (А) с членами произвольных знаков. Если сходится ряд

составленный из абсолютных величин его членов, то и данный ряд также сходится.

Доказательство сразу получается из принципа сходимости: неравенство

показывает, что если условие сходимости выполняется для ряда то оно тем более выполняется для ряда (А).

Можно рассуждать и иначе. Из положительных членов ряда (А), перенумеровав их по порядку, составим ряд

так же поступим с отрицательными членами и составим ряд из их абсолютных величин

Сколько бы членов того или другого ряда ни взять, все они содержатся среди членов сходящегося ряда и для всех частичных сумм выполняются неравенства

так что оба ряда сходятся [365]; обозначим их суммы соответственно, через

Если взять членов ряда (А), то в их составе окажется к положительных и отрицательных, так что

Здесь номера к зависят от Если в ряде (А) как положительных, так и отрицательных членов бесчисленное множество, то при одновременно

Переходя в этом равенстве к пределу, приходим снова к заключению о сходимости ряда (А), причем его сумма оказывается равной

Можно сказать, что при сделанных предположениях сумма данного ряда равна разности между суммой ряда, составленного из одних положительных его членов, и суммой ряда, составленного из абсолютных величин отрицательных членов. Этим мы в последующем будем пользоваться.

Если ряд (А) сходится вместе с рядом составленным из абсолютных величин его членов, то про ряд (А) говорят, что он абсолютно сходится. По доказанной теореме, одной сходимости ряда (А уже достаточно для абсолютной сходимости ряда (А).

Как увидим ниже, возможны случаи, когда ряд (А) сходится, а ряд (А - нет. Тогда ряд (А) называют неабсолютно сходящимся.

Для установления абсолютной сходимости ряда (А) - к положительному ряду (А могут быть применены все признаки сходимости, изученные в предыдущем параграфе. Но нужно быть осторожным с признаками расходимости: если даже ряд (А окажется расходящимся, то ряд (А) может все же сходиться (неабсолютно). Исключение представляют только признаки Коши и Даламбера, и именно потому, что когда они констатируют расходимость ряда то это значит, что общий член ряда (А не стремится к нулю, а тогда к нулю не стремится, так что и ряд (А) также расходится. Поэтому упомянутые признаки могут быть перефразированы применительно к произвольному ряду. Сделаем это, например, для признака Даламбера (который преимущественно и применяется на практике):

Признак Даламбера. Пусть для варианты существует определенный предел:

тогда при данный ряд (А) абсолютно сходится, а при он расходится.

378. Примеры. 1) Применить признак Даламбера ко всем рядам о которых была речь в 2) п° 370, но отбросив требование Мы получим, что:

(а) ряд абсолютно сходится для всех значений х;

(б) ряд абсолютно сходится при и расходится при или (при нарушается необходимое условие сходимости);

(в) ряд абсолютно сходится при и расходится при или если то при ряд также абсолютно сходится, если же ,

то при ряд заведомо расходится, а при вопрос пока остается открытым;

(г) ряд абсолютно сходится при и расходится при или нарушается необходимое условие сходимости);

(д) ряд абсолютно сходится при и расходится при или при вопрос пока остается открытым

Имеем

если или итак, ряд абсолютно сходится для всех значений

Здесь

При ряд абсолютно сходится; при признак Даламбера ничего не дает, но все же можно заключить о расходимости ряда, ввиду нарушения необходимого условия сходимости.

4) Вернемся к гипергеометрическому ряду [372]

- при любых (параметры предполагаются лишь отличными от нуля и от целых отрицательных чисел).

Применяя признак Даламбера в новой форме, убеждаемся, что при этот ряд абсолютно сходится, а при расходится.

Пусть теперь так как отношение

для достаточно больших будет положительно, то члены ряда, начиная с некоторого места, будут иметь один и тот же знак, а тогда к ним (или к их абсолютным величинам) приложим по-прежнему признак Гаусса, который показывает, что ряд сходится (конечно, абсолютно) при и расходится при

Пусть, наконец, Из только что сказанного ясно, что при будет сходиться ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

, так что данный ряд в этом случае сходится абсолютно. При будем иметь, начиная с некоторого места,

не стремится к 0, ряд расходится.

В случае вопрос о сходимости ряда остается пока открытым.