540. Формула Стирлинга.

Обратимся теперь к выводу удобных приближенных формул для и к вопросу о вычислении значений этого логарифма (и самой функции Г).

Отправной точкой нам будет служить формула (24) для логарифмической производной Г:

Так как подинтегральное выражение представляет собой непрерывную функцию от обоих аргументов х и а при (при в этом можно убедиться разложением в ряд), а при интеграл сходится равномерно относительно а для - мажоранта

— то можно проинтегрировать по а, от 1 до а, под знаком интеграла:

Изменяя знак переменной интегрирования, перейдем к промежутку :

И этот интеграл сходится равномерно при для проинтегрируем снова по а, от а до под знаком интеграла

Мы используем полученный интеграл, равно как и элементарный интеграл Фруллани [495]:

для упрощения выражения (35). Именно, вычитая из него (36) и прибавляя (37), получим:

Полагая, для удобства,

и подставляя вместо известное уже нам выражение (19) интеграла Раабе, получим

В главе XII [441, 10] мы имели разложение на простые дроби гиперболического котангенса:

действительное для всех значений Заменяя здесь х на можно преобразовать его к виду [ср. 449]:

или, наконец,

В лице мы узнаем функцию, входящую в подинтегральное выражение (38).

Фиксируем любое неотрицательное целое число и заменим каждый член ряда тождественной ему суммой

Суммируем отдельно слагаемые вида

при Полагая, как обычно,

если ввести число Бернулли [449];

то этот результат перепишется так:

Что же касается последних слагаемых, снабженных множителями представляющими положительные правильные дроби, то, суммируя их, придем к члену

где 0 также есть положительная правильная дробь.

Окончательно получим такое выражение для

Подставив это в (36), проинтегрируем почленно. Так как

и

то находим, что

Наконец, если в (39), вместо подставить полученное выражение, то мы придем к формуле:

носящей имя Стирлинга (J. Stirling).

В простейшем случае при формула принимает вид

Если, отбросив дополнительный член (содержащий множителем 0), продолжить ряд членов в формуле до бесконечности, то получится так называемый ряд Стирлинга:

Этот ряд будет расходящимся. Действительно, ввиду (40), абсолютная величина общего члена ряда Стирлинга при

Тем не менее этот ряд очень полезен для приближенного вычисления функции являясь ее асимптотическим представлением и в то же время обвертывая ее. Мы уже сталкивались как с формулой, так и с рядом Стирлинга для [см. 469, (26) и (27)]. Только что полученные разложения имеют более общий характер. Если пожелать вывести из них прежние результаты, то следует положить и, кроме того, прибавить еще так как не . И в рассматриваемом общем случае также, потенцируя [464, 3°], можно получить асимптотическое разложение для самой функции [см. 469].