383. Преобразование Абеля.
Часто приходится иметь дело с суммами парных произведений вида
Во многих случаях при этом оказывается полезным следующее элементарное преобразование, указанное Абелем (N. Н. Abel). Введем в рассмотрение суммы
Тогда, выражая множители 
через эти суммы,
сумму 
можно написать в виде
Если раскрыть скобки и иначе сгруппировать члены, то и получим окончательную формулу
[Если переписать ее в виде
то станет ясно, что эта формула для конечных сумм является аналогом формулы интегрирования по частям для интегралов: дифференциал здесь заменен разностью, а интеграл - суммой.]
Основываясь на формуле (10), выведем теперь следующую оценку для сумм указанного вида:
Лемма. Если множители 
не возрастают (или не убывают), а суммы 
все ограничены по абсолютной величине числом 
то
Действительно, так как все разности в (10) одного знака, то
Нетрудно видеть, что если множители а не возрастают и положительны, то оценку можно упростить:
Этими оценками мы будем ниже не раз пользоваться по разным поводам. Сейчас мы их применим к выводу критериев сходимости, более общих, чем установленный выше критерий Лейбница.
