392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов.

Как указал Мертенс результат Коши может быть распространен на более общий случай.

Теорема Мертенса. Если ряды (А) и (В) сходятся, причем хоть один из них сходится абсолютно, то разложение (13) имеет место.

Доказательство. Пусть, скажем, ряд (А) сходится абсолютно, т. е. сходится ряд

Объединяя члены на диагонали, положим

и

так что нужно доказать, что

Прежде всего, нетрудно видеть, что

Если положить (где остаток при ), то сумма перепишется так:

так как , то весь вопрос сводится к доказательству соотношения:

А это утверждение сразу следует из 3°, 391 (при ), если учесть, что

где А - сумма сходящегося, по предположению, ряда

В виде примера применения теоремы, вернемся к задаче 4) п° 390. Упомянутое там равенство, как мы видим теперь, имеет место и на конце промежутка сходимости ряда 2 опхп, если и ряд на этом конце вообще сходится (хотя бы и неабсолютно).

Заметим, что если бы оба ряда (А) и (В) сходились лишь неабсолютно, то уже нельзя было бы ручаться за сходимость ряда (13). Для примера попробуем умножить ряд

[как мы знаем, 382, 2] сходящийся неабсолютно] на самого себя. В этом случае

так как каждое слагаемое в скобках больше то (при ) и ряд расходится [364, 5°].

Однако если аналогично поступить с также неабсолютно сходящимся [382, 1)] рядом

то окажется, что

Здесь, при возрастании стремится к 0, монотонно убывая, так что [по теореме Лейбница, 381] ряд все же будет сходящимся. Какова же его сумма, будет ли она равна На этот вопрос отвечает

Теорема Абеля. Лишь только для двух сходящихся рядов (А) и (В) и их произведение, взятое в форме Ко или, оказывается сходящимся, то его сумма С необходимо равна

Доказательство. Сохраняя прежние обозначения, из (14) легко получаем:

Разделим это равенство почленно на и перейдем к пределу при Так как то по теореме Коши [33; см. также и среднее арифметическое

С другой стороны, в силу 391, 4° (если положить там

Отсюда