472. Примеры.

Так как первообразная функция

так что

Аналогично

Первообразной функцией здесь будет но двойная подстановка не имеет смысла, так как при не стремится ни к какому пределу: интеграл не существует.

С помощью интегрирования по частям и разложения на простые дроби находим первообразную функцию

При имеем этот предел и принимаем за значение функции при . С другой стороны, Таким образом, значение интеграла есть

6) Для тела, полученного вращением гиперболы вокруг оси х, вычислить объем и боковую поверхность части, определяемой неравенством

Конечная часть тела, отвечающая изменению х от 1 до имеет объем и боковую поверхность

Естественно за объем V и боковую поверхность всего (простирающегося в бесконечность) тела принять пределы этих величин, т. е. положить

Однако, в то время, как первый интеграл сходится [470, 2)], и для объема получается конечное значение второй интеграл расходится, что указывает на бесконечное значение боковой поверхности.

Для того чтобы убедиться в последнем, достаточно заметить, что

и стремится к при

7) Пусть в начале координат О находится масса которая притягивает материальную точку М массы 1, находящуюся на оси х на расстоянии х от О, с силой

(по закону Ньютона). Какую работу А произведет сила при перемещении точки М вдоль оси х из положения, отвечающего в бесконечность?

Работа, очевидно, будет отрицательной, так как сила направлена против движения. Распространяя на этот случай формулу (9) п° 353, найдем:

При обратном перемещении точки М из бесконечности до расстояния сила ньютоновского притяжения произведет положительную работу

Эта величина называется потенциалом рассматриваемой силы на точку М и служит мерой, накопленной в точке потенциальной энергии.

8) Для работы, производимой газом при расширении его от объема до объема мы имели формулу [354 (10)]:

Пусть дана некоторая масса идеального газа, занимающая объем при давлении Предположим, что газ расширяется до бесконечности и притом адиабатически, т. е. без теплообмена с окружающей средой. В этих условиях, как известно [361, 3)], имеет место формула Пуассона

Тогда работа, которая могла бы быть выполнена газом при таком расширении, будет с

Принимая во внимание, что и подставляя это в полученную формулу, окончательно найдем

9) В задаче 8) п° 356 мы установили силу с которой на единицу «магнитного заряда» действует конечный прямолинейный отрезок тока:

Рассмотрим теперь случай бесконечного (в обе стороны) проводника, т. е. положим Тогда

Разумеется, бесконечный проводник - это фикция; тем не менее полученный результат может оказаться полезным: в случае очень длинного проводника его выгодно приближенно рассматривать как бесконечный, ибо этим достигается значительное упрощение формулы!

10) Если в электрической цепи с самоиндукцией в момент времени ток силы разомкнуть, то в ней возникает экстраток размыкания, подчиняющийся закону:

[см. 359, 4) (а); мы сохраняем здесь прежние обозначения]. Предложим себе вычислить полное количество джоулева тепла выделяемое этим током.

Элементарное количество тепла за промежуток времени очевидно, будет

Суммируя за весь бесконечный промежуток, получим:

Отметим, что хотя практически ток через конечный промежуток времени становится неощутимым, все же для определения полного количества энергии тока, переходящей в тепло, приходится интегрировать по бесконечному промежутку.