§ 4. Дополнения

525. Лемма Арцела.

Хотя для вычислительных целей чаще всего достаточно того материала, который изложен в первых трех параграфах, но в теоретических построениях иной раз бывают нужны некоторые более тонкие теоремы, дающие, кстати сказать, более простые условия применимости рассмотренных процессов.

Начнем с доказательства одного вспомогательного утверждения, относящегося к системам промежутков; оно принадлежит Арцела (С. Arzeli).

Лемма. Пусть в конечном промежутке содержатся системы промежутков, каждая из которых состоит из конечного числа не налегающих друг на друга замкнутых промежутков. Если сумма длин промежутков каждой системы больше некоторого постоянного положительного числа 3, то найдется, по крайней мере, одна точка принадлежащая бесконечному множеству систем

Доказательство. Если промежуток какой-нибудь системы налегает на промежутки предшествующих систем и их

концами делится на части, то эти части мы впредь будем рассматривать как отдельные промежутки системы Таким образом, если есть промежуток системы промежуток системы то либо не налегают друг на друга, либо же содержится в

Однако целиком система может в предшествующей системе и не содержаться. Так как это обстоятельство неудобно, то мы заменим системы другими системами промежутков следующему правилу. Для получения мы кладем в основу присоединяем к ней не содержащиеся в промежутки системы затем не содержащиеся в промежутки системы до бесконечности.

Построенная таким образом система А может состоять уже из бесконечного множества промежутков. Но зато 1) каждый из промежутков системы наверно содержится в одном из промежутков системы К тому же 2) сумма длин (или точнее - сумма ряда длин) промежутков, составляющих и подавно больше й, как это имело место для

Следующий шаг будет состоять в том, что мы и эти системы заменим их конечными частями сохраняя, однако, при этом первое из только что указанных свойств систем А. Сделаем мы это так.

Если число промежутков системы конечно, то просто положим . В противном случае мы из выделим конечную систему А промежутков так, чтобы сумма длин остальных промежутков системы была меньше Некоторые из промежутков системы А., содержатся в промежутках ибо, если бы все они содержались в промежутках то сумма их длин была бы меньше вопреки второму свойству систем Если промежутков системы содержащихся в А, конечное число, то из них и составим систему В противном случае мы выделим из них конечную систему так, чтобы сумма длин всех прочих промежутков 4 (вместе с теми из них, которые не содержатся в А) была меньше Продолжаем этот процесс до бесконечности, последовательно выделяя из конечную систему из - конечную систему При этом каждый из промежутков системы содержится в одном из промежутков системы (Второе свойство системы вообще говоря, утеряно, но ценой этого мы восстановили конечность систем, наподобие

Наконец, последний этап заключается в выделении из систем по о промежутку так, чтобы каждый из них содержался в предыдущем.

Именно среди промежутков системы А найдется хоть один (обозначим его через в котором содержатся промежутки бесконечного множества последующих систем. Действительно, пусть это не так, каждом промежутке А содержатся промежутки лишь конечного числа последующих систем; тогда это же было бы справедливо и относительно всей системы А в целом (именно потому, что она состоит из конечного числа промежутков). Иными словами, можно было бы найти столь большой номер ко, чтобы ни один из промежутков системы не содержался в А, а это противоречило бы свойству 1) систем

В содержатся некоторые промежутки системы А" (ибо, в противном случае, в нем вовсе не было бы промежутков А" и т. Больше того, хоть один из содержащихся в промежутков системы А" (обозначим его через должен обладать подчеркнутым выше свойством промежутка т. е. содержать промежутки бесконечного множества последующих систем, ибо иначе этим свойством не мог бы обладать и (здесь снова играет роль конечность системы Продолжая этот процесс до бесконечности, мы последовательно из каждой системы выделим промежуток содержащийся в ранее выделенном промежутке

Получив последовательность вложенных один в другой промежутков мы - как и при доказательстве известной элементарной

леммы [38] - установим, что для монотонных переменных а и существуют пределы

Так как о длинах промежутков мы ничего не знаем, то равенства пределов мы здесь утверждать не можем. Но любая точка с, взятая под условием а принадлежит, очевидно, всем промежуткам Вместе с тем точка с принадлежит каждой системе А (при значит, каково бы ни было к, точка с необходимо принадлежит (если учесть правило построения и некоторой системе где Отсюда уже ясно, что точка с принадлежит бесконечному множеству систем , ч. и тр. д.