375. Дополнения.

1) Мы воспользуемся оценками (11), чтобы охарактеризовать поведение функции Р и

(которая определена лишь для а при приближении к 0.

Прежде всего, полагая в первом из неравенств (11) и во втором из них, легко получить

откуда

Можно прийти к более точному результату, если, исходя из очевидного равенства

применить неравенства (11) при произвольном

Переходя здесь к пределу при мы получим

Наконец, ввиду произвольности и, устремим здесь к бесконечности. Так как первое и последнее выражения, в силу (4) п° 367, при этом стремятся к эйлеровой постоянной С, то наибольший и наименьший пределы совпадают, так что существует обычный предел и равен

[Эти результаты принадлежат Дирихле.]

2) Пусть члены ряда (А) монотонно убывают; тогда ряд (А) сходится или расходится одновременно с рядом (Коши).

Действительно, с одной стороны,

а с другой -

Отсюда и следует требуемое заключение.

Например, поведение ряда — совпадает с поведением ряда явно расходящегося. Ряд сходится вместе с рядом расходится, ибо расходится ряд и т. д.

В этой теореме ряд сравнения может быть заменен и более общим рядом где - любое натуральное число.

3) Пусть (А) будет произвольный сходящийся ряд. Какие заключения можно сделать о порядке малости общего члена по сравнению

Прежде всего, очевидно, что если эти бесконечно малые вообще сравнимы между собой [60], т. е. если существует предел

то необходимо так что

Действительно, иначе - ввиду расходимости гармонического ряда и данный ряд был бы расходящимся [366, теорема 2].

Однако существование такого предела, вообще говоря, не обязательно, как видно на примере ряда

Сходимость этого ряда ясна из сопоставления с рядом в то же время, если не есть полный квадрат, то для него пап в противном же случае:

Впрочем, если члены ряда монотонно убывают, то для сходимости его условие (13) все же необходимо. Действительно, при любых

где - остаток ряда. Отсюда

Пусть сначала взято так, чтобы было меньше произвольно заданного числа если предположить теперь настолько большим, что

то одновременно

Заметим в заключение, что даже для рядов с монотонно убывающими членами условие (13) отнюдь не является достаточным для сходимости. Это видно на примере ряда

4) Если ряд расходится, и означает его частичную сумму, то ряд — также расходится, в то время как ряд сходится. [Абель (N. Н. Abel) и Дин и (U. Dini).]

Имеем:

Сколь большими ни взять всегда можно выбрать такое чтобы было

Для ряда — нарушено основное условие сходимости - ряд расходится.

Для доказательства сходимости ряда мы прибегнем к приему, сходному с примененным Коши [373].

К функции в промежутке от до применим формулу конечных приращений:

Таким образом, члены рассматриваемого ряда соответственно меньше членов сходящегося ряда что и доказывает высказанное утверждение.

5) Если ряд сходится и означает его остаток после члена, то ряд расходится, в то время как ряд

сходится (Дини).

Доказательство аналогично предыдущему.

6) Следующий признак сходимости недавно был указан Н. А. Сапоговым:

Если - положительная монотонно возрастающая варианта, то ряд

сходится при условии ограниченности этой варианты и расходится - в противном случае.

Положим (при

тогда предложенный ряд перепишется так:

и его поведение совпадает с поведением ряда

а значит - и с поведением ряда (в случае расходимости его можно сослаться на результат Абеля - Дин и, Последний же ряд сходится или расходится в зависимости от того, будет ли варианта ограниченной или нет.

7) Пусть даны два сходящихся ряда:

и

Второй называется медленнее сходящимся, чем первый, если остаток второго ряда есть бесконечно малая низшего порядка чем остаток первого:

Для каждого сходящегося ряда можно построить ряд, медленнее сходящийся. Достаточно рассмотреть, например, ряд

так как в этом случае

Рассмотрим теперь два расходящихся ряда:

Про второй говорят, что он расходится медленнее, чем первый, если его частичная сумма является бесконечно большой низшего порядка, чем частичная сумма первого:

Для каждого расходящегося ряда можно построить ряд, медленнее расходящийся. С этой целью можно, например, взять ряд

здесь

Аналогичные заключения можно получить и с помощью рядов Абеля и Дини , рассмотренных в 4) и 5).

Построенные примеры приводят к такому принципиально важному утверждению: никакой сходящийся (расходящийся) ряд не может служить универсальным средством для установления путем сравнения с ним сходимости (расходимости) других рядов.

Это ясно из того, что

и

8) Пусть даны две последовательности положительных чисел

Каково бы ни было , для первых чисел этих последовательностей имеет место неравенство Коши - Гельдера:

и неравенство Минковского:

[133 (5) и (7)]. Здесь к - произвольное число , а k другое число тоже которое связано с к соотношением

Переходя в этих неравенствах к пределу при получим подобные же неравенства для бесконечных рядов:

и

причем из сходимости рядов в правых частях вытекает сходимость рядов в левых.