§ 3. Мера движения

Наблюдая движения тел, люди издавна обращали внимание на то, что чем больше масса и скорость движущегося тела, тем больший эффект возникает при его соударениях с другими телами. Так, например, при движении ядра его разрушительная сила тем больше, чем больше его масса и скорость; при ударе движущегося шара о неподвижный последний приобретает тем большую скорость, чем большую скорость имел первый шар; метеорит, достигающий поверхности Земли, проникает в грунт тем глубже, чем больше масса и скорость метеорита. Эти и многие иные примеры такого рода наводят на мысль о существовании меры механического движения (короче говоря, меры движения) и о зависимости этой меры от скорости и массы движущегося материального объекта.

Наблюдая движение шаров до столкновения и после него, можно заметить, что если в результате столкновения движение одного из шаров «уменьшилось», то движение второго шара «увеличилось» и притом тем более, чем существеннее «уменьшилось» движение первого шара. Представляется поэтому, что хотя мера движения каждого из шаров меняется во время соударения, сумма таких мер для обоих шаров остается неизменной, т. е. что при некоторых условиях происходит «обмен движением» при сохранении меры движения для системы в целом.

Понятие «соударение», т. е. короткое взаимодействие путем непосредственного контакта, можно обобщить, введя представление о «временном взаимодействии», т. е. о взаимодействии двух материальных точек (не обязательно обусловленном их непосредственным контактом), имеющем «начало» и «конец» и продолжающемся конечное время. Тогда естественно предполагать, что мера движения системы сохраняется в результате временных взаимодействий.

История механики связана с длительными спорами ученых о том, какая величина является мерой движения, в частности, является ли мера движения скалярной величиной или вектором. Спор этот имеет лишь исторический интерес, но именно в ходе этой дискуссии были введены две основные характеристики движения — кинетическая энергия и количество движения (импульс), которые играют центральную роль во всем построении механики. Попробуем поэтому точнее определить интуитивно введенное выше понятие о мере движения и из общих соображений выяснить некоторые свойства, которыми она должна обладать.

Будем исходить из предположения, что мерой движения материальной точки служит скалярная функция массы и скорости точки , удовлетворяющая следующим трем условиям.

1° Мера движения аддитивна. Это требование означает, что мера движения системы получается как сумма мер движения всех N точек, входящих в систему; .

2° Мера движения инвариантна по отношению к повороту системы отсчета. Из этого интуитивно очевидного требования (естественно вытекающего из основных предположений о пространстве и времени) сразу следует, что мера движения не должна зависеть от положения точки, от направления ее скорости и может зависеть лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата скорости: .

3° Мера движения замкнутой системы материальных точек не должна изменяться при временных взаимодействиях (предполагается, что за время взаимодействия меняются лишь механические характеристики материальных точек — их положения и скорости, но остаются неизменными прочие параметры, характеризующие их физические температура, электрический заряд и т. д.). Это требование означает, что мера движения всей замкнутой системы материальных точек , подсчитанная до начала взаимодействия и после его окончания, должна быть одной и той же.

Разумеется, введенный выше постулат 3° — сохранение меры при временных взаимодействиях — должен быть инвариантен по отношению к преобразованиям Галилея. Это требование — прямое следствие принципа относительности Галилея.

Определим теперь, какой вид имеет скалярная функция , удовлетворяющая всем этим условиям. Оказывается, что условия 3° достаточно для того, чтобы составить функциональное уравнение, которому должна удовлетворять функция , и что это функциональное уравнение может быть решено.

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек с массами . Пусть скорости этих точек относительно инерциальной системы отсчета равны в момент t (до взаимодействия) и — в момент (после взаимодействия). Если функция служит мерой движения, то в силу условий 3° должно выполняться равенство

Выберем систему отсчета, движущуюся относительно исходной поступательно и равномерно со скоростью . Эта система также инерциальна. Рассматриваемые точки имеют в ней скорости и, и в момент t и в момент . В силу принципа относительности Галилея функция должна быгь мерой движения и в этой системе, т. е. должно выполняться равенство

Выберем в «старой» инерциальной системе отсчета декартову систему координат так, чтобы координаты вектора и были равны , т. е. предположим, что новая инерциальная система движется относительно старой со скоростью и вдоль оси . Тогда

где — координаты вектора , и равенство (2) принимает вид

Разложим теперь функции, входящие в это равенство, в ряды Тейлора по степеням . Выписав лишь линейные члены и заменив многоточиями члены высших порядков, получим

где условно означают производную

после подстановки в нее вместо координат векторов соответственно. Отбросив равные (в силу ) свободные члены в правой и левой частях равенства (4), разделив результат на , устремив к нулю и отбросив поэтому члены, замененные многоточием, в пределе получим

Равенство (5) имеет совершенно такую же структуру, что и равенство (1), только вместо искомой меры движения в равенстве (5) стоит частная производная . Но это означает, что если функция f удовлетворяет равенству (1), то и ее частная производная также удовлетворяет равенству (1).

Мы пришли к этому выводу, предположив, что новая инерциальная система отсчета движется вдоль оси , т. е. что вектор имеет координаты .

Предположим теперь, что она движется относительно старой системы отсчета вдоль оси или вдоль оси , т. е. что вектор имеет координаты (0, u, 0) или (0, 0, u). Дословно повторив проведенные выше рассуждения, установим, что равенству типа (1) удовлетворяют также частные производные .

Введем теперь вектор q с координатами . Каждая из этих частных производных представляет собой функцию переменных и . Поэтому вектор q является функцией переменных и , т. е. q есть вектор-функция от и от векторного аргумента , удовлетворяющая равенству (1). Функция аддитивна и, являясь вектором, инвариантна по отношению к повороту системы отсчета. Таким образом, опираясь только на принцип относительности Галилея, мы установили важный факт: если существует скалярная функция , удовлетворяющая условиям 1°, 2° и 3°, то существует и векторная функция q, удовлетворяющая этим трем условиям, причем и q связаны соотношениями

Теперь, исходя из принципа относительности Галилея, потребуем, чтобы равенство (5) (и аналогичные равенства для ) сохранялось при преобразованиях Галилея. Легко видеть, что повторяя подобные рассуждения, но только исходя не из равенства (1), а из равенства (5) (и аналогичных равенств для ), мы установим, что равенству типа (1) должны удовлетворять все вторые производные, т. е. шесть функций

Выше было установлено, что если равенство (1) верно для функции , то оно верно также еще для девяти функций, а именно для

Эти десять равенств вида (1) содержат величины, которые по постановке задачи предполагаются заданными (ими являются массы и двух взаимодействующих точек и их скорости до ), и шесть неизвестных величин (проекции скоростей этих же точек после взаимодействия: ). В силу классического детерминизма, т. е. предположения, что при любых заданных воздействиях состояние системы в некоторый момент полностью определяет ее состояние по все последующие моменты времени, эти шесть неизвестных величин — скорости после взаимодействия — должны полностью определяться по заданным величинам.

Таким образом, десять равенств типа (1), о которых выше шла речь, составляют систему из десяти уравнений, содержащую лишь шесть неизвестных. Эта система уравнений должна иметь решение (и притом единственное). Ясно поэтому, что из десяти равенств вида (1), о которых выше шла речь, лишь шесть независимы. Именно они дают решение задачи, т. е. позволяют найти и при заданных . Это решение должно удовлетворять остальным четырем равенствам, т. е. обращать их в тождества вида .

Равенство (1) для функции f заведомо входит в число шести независимых, и каковы бы ни были остальныэ пять равенств, входящих в эту шестерку, хотя бы одно равенство для второй производной в нее не войдет — ведь среди девяти функций (7) содержатся шесть вторых производных. Наши дальнейшие рассуждения не зависят от того, для какой конкретно второй производной равенство вида (1) является зависимым — пусть, например, это .

Учтем теперь, что f зависит от . Тогда, считая постоянным параметром, получаем

и

Поэтому равенство вида (1) для производной имеет вид

Если скорости до взаимодействия и фиксированы и из шести независимых уравнений определены скорости после взаимодействия , то это равенство должно обращаться в тождество вида , каковы бы ни были эти скорости. Это заведомо возможно в том случае, когда

Положив , последнее равенство можно записать так:

Интегрируя это равенство дважды, находим функцию :

где — произвольные функции , т. е.

Таким образом, из требований 1°—3° вытекает, что если существует скалярная мера движения , то она имеет вид (10), и что тогда существует векторная мера движения

или в векторной записи

В классической механике нормируют меру движения f так, чтобы она обращалась в нуль при . Это соображение делает предпочтительным выбор .

Проведенные выше рассуждения не устанавливают вид функции для этого требуются дополнительные соображения.

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух точек А и В. Если бы система состояла только из точки А, то в силу определения инерциальной системы отсчета скорость сохранялась бы и, следовательно, имело бы место равенство . Благодаря наличию в системе точки В и взаимодействию между точками имеем

т. е. возникает ускорение точки А.

Непосредственные наблюдения показывают, что если изменять количество материи, сконцентрированной в материальном объекте, который мы рассматриваем в качестве точки А (т. е. изменять инерционную массу точки А), и рассматривать не зависящие от воздействия, то при одном и том же воздействии на нее прочих равных условиях ускорение меняется обратно пропорционально .

Это утверждение, новое в том смысле, что оно не вытекает из всех введенных выше исходных определений, и должно быть добавлено к ним в качестве самостоятельного постулата. Такой постулат был введен Ньютоном и называется вторым постулатом законом) Ньютона.

Исходя из второго постулата Ньютона, естественно выбрать функцию пропорциональной . Принципиально возможен любой выбор коэффициента пропорциональности. Принято считать по равным единице, т. е. полагать .

Подставив это значение в формулы (10) и (11), получим для скалярной и векторной мер движения следующие выражения:

Поэтому для системы, состоящей из N точек, эти скалярная и векторная меры равны

Вектор называется количеством движения (термин, принятый в механике) или импульсом (термин, принятый в физике) точки, а вектор Q — количеством движения (или импульсом) системы.

Скалярная величина имеет размерность энергии, называется кинетической энергией точки и обозначается Соответственно называется кинетической энергией системы.

Полученные выражения для мер движения вполне соответствуют интуитивным соображениям, о которых шла речь в начале этого параграфа: тому, что меры должны «расти» с ростом массы ростом скорости .