§ 7. Движение материальной точки в центральном поле (пример использования законов сохранения)

1. Общий случай. Рассмотрим движение материальной точки под действием центральной силы, т. е. силы, зависящей только от расстояния рассматриваемой материальной точки до некоторого центра притяжения или отталкивания (называемого далее условно Солнцем) и направленной в каждый момент вдоль прямой, соединяющей рассматриваемую материальную точку с центром. Мы сначала не будем накладывать какие-либо ограничения на вид центральной силы, т. е. на то, какова функциональная зависимость величины силы от расстояния между рассматриваемой точкой и Солнцем, а затем подробнее рассмотрим частный случай, когда центральной силой является сила всемирного тяготения или кулонова сила электрического взаимодействия.

Мы будем предполагать далее, что Солнце неподвижно относительно некоторой инерциальной системы отсчета и расположено в начале координат.

Выше (см. гл. II) уже было показано, что в общем случае вектор центральной силы может быть записан так:

Там же было показано, что при действии центральной силы всегда существует потенциальное поле и что силовая функция выражается интегралом

Таким образом, силовая функция есть функция положения точки, т. е. зависит от трех переменных —координат точки . Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы можно теперь записать в виде векторного уравнения

или трех скалярных уравнений, получающихся проектированием уравнения (31) на оси инерциальной системы отсчета:

Найти движение — значит проинтегрировать эту систему дифференциальных уравнений при весьма общих предположениях о возможном виде функций . Мы покажем теперь, как можно использовать основные законы механики — законы сохранения — для того, чтобы обойти трудности, связанные с интегрированием системы (32). Законы сохранения позволят нам сразу обнаружить некоторые важные особенности движения и, используя их, упростить систему в такой мере, чтобы задача интегрирования ее свелась к простой квадратуре.

При движении материальной точки в поле центральной силы всегда действуют два закона сохранения.

Во-первых, имеет место закон сохранения кинетического момента. Действительно, если принять за полюс центр притяжения (выбранный в качестве начала координат инерциальной системы отсчета), то момент центральной силы относительно этого полюса всегда равен нулю, так как центральная сила проходит через полюс. Но если момент силы равен нулю, то в силу теоремы об изменении кинетического момента производная от кинетического момента по времени равна нулю; значит, сам вектор кинетического момента не меняется по времени:

Во-вторых, имеет место закон сохранения механической энергии, поскольку система является консервативной: в системе действует только одна сила, зависящая от положения точки, и силовое поле потенциально (так как существует силовая функция); это поле стационарно.

Рис. III.3.

Рис. III.4.

Воспользуемся сначала законом сохранения кинетического момента. Если вектор кинетического момента сохраняется неизменным, то это значит, что, во-первых, сохраняется неизменным направление этого вектора в пространстве и, во-вторых, сохраняется неизменной его величина (модуль).

Направление вектора кинетического момента перпендикулярно плоскости Р, проходящей через начало координат и через направление скорости точки. Из того факта, что направление этого вектора не меняется во времени, сразу следует, что и плоскость Р неподвижна в пространстве и, значит, векторы скорости лежат во время движения всегда в одной и той же плоскости.

Таким образом, исходя только из того, что вектор кинетического момента не меняется по направлению, мы показали, что движение в поле центральной силы всегда является плоским движением. Плоскость в которой происходит это движение, перпендикулярна Ко и определяется начальным положением точки и ее начальной скоростью, так как только от них зависит .

Доказав, что рассматриваемое движение заведомо является плоским, мы можем ввести в плоскости движения полярную систему координат, характеризуя положение рассматриваемой материальной точки в плоскости двумя величинами — радиусом и полярным углом (рис. III.3).

Воспользуемся теперь тем, что вектор кинетического момента остается неизменным не только по направлению, но и по величине. Величина вектора кинетического момента равна

где — угол между радиусом-вектором точки и направлением ее скорости (рис. III.4).

Будем рассматривать движение точки как сложное движение с относительной скоростью и переносной скоростью (см. рис. III.4), поместив начало греческой системы в центр О и направив ось вдоль радиуса . Тогда — скорость прямолинейного движения вдоль оси , по модулю равная , а — скорость переносного вращательного движения с угловой скоростью , которая по модулю равна (рис. III.4):

Подставляя в (33) выражение usina , получаем

Эта величина К постоянна и равна — начальному значению кинетического момента. Поэтому во время движения выполняется равенство

Формула (35) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Во время движения точки по плоской траектории радиус описывает («заметает») криволинейный сегмент (рис. III.5).

Рис. III.5.

Площадь сегмента, «заметаемого» радиусом, равна

Во время движения площадь S меняется со временем, т. е. . Производная называется секториальной скоростью. Подсчитаем ее, воспользовавшись формулами (35) и (36):

Таким образом, при движении в поле произвольной центральной силы движение точки не только является плоским, но и подчиняется так называемому закону площадей, утверждающему, что радиус-вектор за равные промежутки времени «заметает» равные площади.

Итак, используя только тот факт, что кинетический момент не меняется во времени, мы установили второе важное свойство любого центрального движения. Начальными данными, т. е. начальным положением точки и начальной ее скоростью, полностью определяются направление и величина постоянного вектора кинетического момента и тем самым однозначно определяются не только плоскость движения, но и секториальная скорость, с которой это движение происходит.

Обратимся теперь к закону сохранения механической энергии. Из этого закона сразу следует, что

где — потенциальная энергия. Отсюда

где знак перед корнем определяется знаком в начальный момент, т. е. тем, как направлена составляющая скорости при : «к Солнцу» или «от Солнца».

Мы получили дифференциальное уравнение движения материальной точки в поле центральной силы в полярных координатах. В отличие от исходной системы уравнений (32) это уравнение (37) является уравнением первого порядка. Более того, оно легко сводится к простой квадратуре, так как переменные в нем разделяются:

Интегрируя это равенство, получаем

где — постоянная интегрирования.

Таким образом, одна квадратура позволяет определить t как функцию , т. е. в неявном виде зависимость от .

Выражение , полученное в результате этого интегрирования, будет содержать три произвольные постоянные. Этими тремя константами, зависящими от начальных данных, являются и постоянная интегрирования С. Обращаясь теперь к формуле (35) и подставляя в нее выражение , можно с помощью одной квадратуры найти полярный угол как функцию времени. При этом интегрировании будет введена еще одна постоянная.

Все четыре произвольные постоянные, которые войдут в выражения для , можно выразить через начальные данные — координаты и скорость точки в момент . Найдя таким образом и как функции времени, можно исключить время и определить как функцию , т. е. определить траекторию в полярных координатах.

Можно, однако, найти траекторию в полярных координатах проще, избегая предварительного определения и как функций времени. С этой целью перепишем равенство (35) так:

Подставляя сюда вместо выражение этого дифференциала через радиус

получаем

Интегрируя это равенство, находим

Подставляя в подынтегральное выражение функцию в соответствии с формулой (37), получаем окончательно

Выражение (38) с помощью одной квадратуры определяет полярную координату как неявную функцию от . Как и ранее, функция включает три произвольных постоянных и С. Различия в выражении центральной силы отражаются лишь на виде выражения для потенциальной энергии . В каждом конкретном случае достаточно подставить в формулу (38) соответствующее выражение , вычислить интеграл и таким образом найти движение.

Мы видим, что задача, которая казалась сложной, когда мы рассматривали уравнения типа (32), свелась к простой квадратуре лишь за счет использования законов сохранения. При этом оказалось возможным единообразно выразить связь между полярными координатами для произвольной центральной силы и тем самым установить общий закон движения в центральных полях.

Пример этот наглядно демонстрирует силу и удобство законов сохранения при решении задач такого рода. Не конкретизируя вида функции , можно высказать некоторые общие соображения о характере движения в центральных полях.

Из полученной выше формулы

следует, что экстремальные значения получающиеся при , должны удовлетворять условию

Можно показать, что если это уравнение имеет только одно решение, то это решение соответствует минимуму и после того, как достигается , радиус будет неограниченно расти с ростом движение такого рода называется инфинитным. Если же уравнение имеет два действительных решения и , то величина будет ограничена:

и траектория будет целиком лежать между окружностями с радиусами (рис. III.6). Такие движения финитны. Траектории финитных движений могут быть либо замкнутыми, либо незамкнутыми; в последнем случае траектория всюду плотно заполняет площадь кольца между указанными окружностями.

Рис. III.6.

Чтобы продвинуться далее в изучении движений в центральных полях, надо конкретизировать вид центральной сихы, т. е. задать выражение для потенциальной энергии в формуле (38). Ниже мы рассмотрим движение точки в поле всемирного тяготения.

2. Ньютоново и кулоново поля. Рассмотрим теперь частный случай центрального поля — поле всемирного тяготения.

Как было указано выше, классическая механика не интересуется физической сущностью явлений, обусловливающих возникновение взаимодействия объектов через поля. Механика констатирует лишь тот факт, что при наличии в пространстве материального объекта массы М непосредственно не связанная с этим объектом материальная точка при отсутствии каких-либо иных воздействий не будет двигаться по отношению к системе, принятой за инерциальную, прямолинейно и равномерно, т. е. производная будет отлична от нуля.

Тогда в соответствии с общим методом классической механики (см. гл. II) совокупность физических факторов, которые обусловили появление , называют силой и представляют ее вектором . Вводимые так силы называются силами всемирного тяготения.

Ньютон, исходя из открытых к этому времени трех законов Кеплера о движении планет Солнечной системы, дедуктивно установил, что для того чтобы могло возникнуть видимое движение планет, на них должна действовать сила, направленная к Солнцу и равная

где и — массы планеты и Солнца, — радиус, проведенный от Солнца к планете, знак минус указывает, что направление F противоположно направлению (т. е. что сила направлена к Солнцу), ньютон — коэффициент всемирного тяготения, — константа, зависящая только от массы Солнца, а — — константа, которую удобно ввести для упрощения дальнейших выкладок.

Ньютон предположил далее, что формула (39) определяет силу взаимного притяжения любых двух материальных точек, имеющих массы . Если массу М принять за центр тяготения (Солнце), то точка с массой будет двигаться в центральном силовом поле, для которого функция определена формулой (39).

Для этого поля силовая функция равна

т. е. потенциальная энергия такова:

Если «нормировать потенциальную энергию на бесконечности», выбрав константу С так, чтобы при , то получим и

Силовое поле тяготения массы , описываемой формулой (40), называется ньютоновым полем, а возникающие в нем движения — кеплеровыми движениями.

В соответствии с законом Кулона сила взаимного притяжения (или отталкивания) двух заряженных частиц также определяется формулой (39), но коэффициент а в этом случае будет иным. Поэтому задача об электрическом взаимодействии тоже приводит к исследованию движения в центральном поле с потенциальной энергией, которая выражается формулой (40). Такого рода поля называются кулоновыми.

Подставляя выражение (40) для потенциальной энергии кулонова (или ньютонова) поля в формулу (38), получаем

Этот интеграл легко вычислить, так как подстановкой

он сводится к «табличному интегралу»

где

отсюда

Подставляя сюда приведенные выше выражения для и А, получаем

(43)

Если ввести обозначения

и выбрать начало отсчета так, чтобы , то уравнение (43) сведется к виду

Уравнение (44) представляет собой общее уравнение конических сечений в полярных координатах. В этом уравнении — относительный эксцентриситет, а — фокальный параметр конического сечения. Вид конического сечения определяется только величиной эксцентриситета (рис. III.7).

1. При уравнение (44) определяет эллипс, в частности, при окружность радиуса .

2. При уравнение (44) определяет параболу.

3. При уравнение (44) определяет гиперболу.

Из аналитической геометрии известно, что в случае, когда уравнение (44) определяет эллипсы , величины эксцентриситета и параметра определяются через полуоси эллипса а и b (рис. III.8) так:

Рис. III.7.

Рис. III.8.

Итак, мы установили, что движение в поле всемирного тяготения финитно при и инфинитно при . Тела, совершающие финитные движения, называются планетами или спутниками.

Кеплер, обрабатывая наблюдения за движением планет Солнечной системы, обратил внимание на то, что для них имеют место следующие три закона, впоследствии названные законами Кеплера.

1. Каждая из планет Солнечной системы совершает плоское движение с постоянной векториальной скоростью.

2. Траекториями всех планет служат эллипсы, в общем фокусе которых расположено Солнце.

3. Отношение квадратов времен Т обращения планет к кубам больших полуосей их эллиптических траекторий одинаково для всех планет.

Мы видели ранее, что первый закон Кеплера верен при любом движении в поле центральной силы. Мы видели далее, что второй закон Кеплера верен при всех финитных движениях (т. е. для всех планет любого Солнца) в поле всемирного тяготения. Установим теперь, что для всех таких движений справедлив третий закон Кеплера, т. е. что для всех планет любого Солнца отношения одинаковы.

Период Т обращения планеты может быть вычислен как отношение площади ее эллиптической орбиты, равной , к секториальной скорости (см. выше), т. е. . Поэтому

или с учетом формулы (45)

При выводе формулы (44) мы положили

Подставляя это выражение для p в (47), получаем

а это число зависит только от , т. е. от Солнца, и совершенно одинаково для всех планет.

Вернемся теперь к вопросу об условиях возникновения финитных движений, т. е. к условию, при котором . Из определения следует, что

Учитывая, что

и что для ньютонова или кулонова поля

имеем

или

Отсюда сразу следует, что

Таким образом, характер возникающего движения (т. е. является оно финитным или инфинитным) зависит только от величины начальной скорости. «Граничной» является скорость

где — отношение силы к массе , т. е. ускорение при .

Определим теперь, какой должна быть скорость точки с массой для того, чтобы траекторией была окружность радиуса . Это значение скорости может быть найдено из равенства . Его проще сразу определить из условия, что на круговой траектории с точка имеет постоянное центростремительное ускорение и движется под действием центральной силы , т. е. что

и

поэтому

Для поверхности Земли .

Скорости называются соответственно первой и второй космической скоростью для рассматриваемого центрального поля в точках .

Таким образом, в условиях, когда можно пренебречь наличием атмосферы, материальная точка, запущенная вблизи поверхности Земли с горизонтальной скоростью , падает на Землю, если .

Она становится спутником Земли, если

и удаляется от Земли до тех пор, пока не попадет в новое поле тяготения, если

Удаляясь от Земли и встретив новое поле тяготения (например, Солнца), точка может стать планетой Солнца или продолжить движение по инфинитной траектории. Это зависит от того, с какой скоростью она «входит» в поле тяготения Солнца.

3. Рассеяние частиц в кулоновом поле. Формула Резерфорда. Рассмотрим инфинитное движение точки массы , которая движется в кулоновом центральном поле из бесконечности, имея в бесконечности скорость (рис. III.9) и, следовательно, энергию и кинетический момент . В последнем выражении — расстояние от центра до направления скорости (его иногда называют прицельным расстоянием).

Рис. III.9.

Рис. III.10.

В кулоновом поле траекторией инфинитного движения в общем случае является гипербола, асимптоты которой пересекаются в точке А, расположенной на направлении (наименьшего для этой траектории радиуса), и образуют с этим направлением одинаковые углы . Нас будет интересовать угол (см. рис. III.9), равный

Если изменить , сохранив величину скорости , то изменится и угол (рис. 111.10). В связи с этим частицы, летящие с одинаковой скоростью в «трубке» радиуса в результате инфинитного движения в поле оказываются в «конусе» с углом . Это явление называется рассеянием частиц. Далее будет показано, что эффект этот зависит от свойств частиц материи (масса — в ньютоновом, заряд — в кулоновом поле).

Поэтому, измеряя эффект рассеяния, можно определить свойства рассеиваемых частиц. Это обстоятельство использовал Резерфорд в своих опытах.

Из уравнения траектории в полярных координатах

находим, что при угол наклона асимптоты удовлетворяет равенству

Подставляя найденное выше выражение для , получаем

или

При и это дает

или с учетом (52)

Эта формула устанавливает связь между и , т. е. содержит все необходимое для расчета рассеяния. Удобно, однако, представить эту формулу в ином виде.

Пусть — число частиц, рассеиваемых в единицу времени внутри угла от и до , а — число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади сечения исходной «трубки» .

Отношение

называется эффективным сечением рассеяния.

Между углами и . попадают частицы, которые в начале движения прошли через «кольцо» с внутренним диаметром и внешним диаметром . Таких частиц в единицу времени проходит

так что

Подставив сюда , найденное из формулы (53), и заменив производную ее абсолютной величиной, получим

Это формула содержит дифференциал плоского угла . Удобно перейти к телесному углу между конусами с углами при вершине , воспользовавшись равенством

тогда формула (56) принимает вид

В кулоновом поле , где — заряд частицы, а — заряд источника поля. Замеряя число частиц, проходящих через телесный угол , и определяя таким образом , можно по формуле (57) найти частицы, а следовательно, ее заряд, если масса известна, и наоборот.

Рис. III.11.

Формула (57) носит название формулы Резерфорда.

4. Задача двух тел. Рассмотрим теперь задачу, которая внешне кажется отличной от рассмотренной Еыше задачи о движении точки в потенциальном поле центральной силы, а в действительности легко сводится к ней. Задача эта состоит в изучении движения двух материальных точек под действием сил F их взаимного притяжения или отталкивания. Закон изменения силы F безразличен, важно лишь, что она всегда направлена вдоль прямой, соединяющей точки, а ее величина зависит лишь от расстояния между точками. В гл. II было показано, что и в этом случае существует силовая функция , а значит, и потенциальная энергия П, зависящая только от расстояния r между точками.

Введем движущуюся поступательно центральную систему координат с началом в центре инерции С системы, состоящей из точек (рис. III.11). Центральная система является инерциальной, так как в силу теоремы о движении центра инерции скорость его постоянна: .

Движение точек мсжно рассматривать как сложное движение; тогда переносным будет поступательное движение центральной системы со скоростью центра инерции. Скорость задается начальными скоростями точек в момент , и по определению центра инерции

Задача сводится к определению движения точек относительно центральной системы .

Введя векторы Для точек и в центральной системе , имеем (см. рис. III.11)

С другой стороны, в этой системе

так как начало координат выбрано в центре инерции С.

Решая систему двух алгебраических уравнений (59) и (60) относительно векторов , получаем

Поэтому

и второй закон Ньютона в центральной системе (она инерциальна!) для наших точек записывается так:

что дает

(см. рис. III.11). Поэтому меняется так, как менялся бы радиус-вектор точки с массой, равной приведенной массе , движущейся в центральном потенциальном поле с силовой функцией , и задача о движении двух взаимодействующих точек в центральной системе сводится к изучению движения одной воображаемой точки в поле центральной силы. Решая эту задачу, находят , а затем по формулам (61) находят , т. е. движение двух взаимодействующих точек в центральной системе.

После этого определить абсолютное движение в исходной системе уже не составляет труда, так как переносное движение известно — им является поступательное движение центральной системы со скоростью , которая определяется формулой (58).

Из теоремы об изменении кинетического момента следует, что , т. е.

Учитывая равенство (60), имеем

и поэтому

т.е.

или

Из этого равенства сразу вытекает, что в центральной системе , а значит, и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению , и, следовательно, в задаче двух тел могут происходить лишь плоские движения.

Приведенное выше решение задачи двух тел позволяет, в частности, рассчитать взаимное рассеяние двух частиц (или двух пучков частиц), движущихся по инфинитным траекториям под действием взаимного кулонова притяжения или отталкивания.

5. Временное центральное взаимодействие. Упругие соударения. Рассмотрим теперь задачу двух тел в том случае, когда потенциальная энергия зависит только от расстояния между точками и когда существует такое расстояние , что при всех .

Если движение начинается при , то в этом случае точки движутся независимо до тех пор, пока не окажется равным . Затем при возникают условия задачи двух тел до тех пор, пока вновь не окажется . Если продолжает расти, то взаимодействие заканчивается и точки движутся независимо одна от другой до тех пор, пока уменьшаясь, снова не достигнет значения . В системе координат, начало которого помещено в одной из рассматриваемых материальных точек, поверхностями уровня служат сферы радиусами сфера радиусом является поверхностью нулевого уровня и вне ее поверхностей уровня нет.

Пусть при движении системы траектория второй точки в момент «входит» внутрь сферы радиусом извне, а в момент «выходит» из этой сферы наружу. Условимся говорить тогда, что при имело место временное центральное взаимодействие.

Момент назовем началом взаимодействия, а момент — моментом окончания его.

Модель временного центрального взаимодействия удобна, например, для рассмотрения абсолютно упругого соударения тел (подробнее см. далее). Она удобна для описания взаимодействий и в тех случаях, когда не возникает непосредственный контакт тел (как это имеет место при соударениях), если достаточно быстро убывает с ростом . В таких случаях часто пренебрегают малыми взаимодействиями, возникающими на больших расстояниях, т. е. вводят в рассмотрение «предельное расстояние» и условно считают, что при пренебрегая малыми значениями .

Рассматривая временное центральное взаимодействие, будем интересоваться лишь тем, как изменились скорости точек в результате взаимодействия, а не деталями движения в процессе взаимодействия. Как и в общей задаче двух тел, сначала будем пользоваться центральной системой, а затем перейдем к исходной инерциальной системе отсчета. Условимся приписывать индекс С радиусам-векторам и скоростям, подсчитанным относительно центральной системы, т. е. примем обозначения, собранные в табл. II.

Таблица II

Рассматривается временное взаимодействие. Поэтому за время взаимодействия не меняется ни Q, ни Т (см. этой главы) как в исходной, так и в центральной системе (которая тоже является инерциальной, поскольку при взаимодействии действуют лишь внутренние силы и поэтому ).

Запишем условие сохранения Q в центральной системе:

где — скорость центра инерции в центральной системе, разумеется, равная нулю. Поэтому

Из равенств (63) следует, что в центральной системе скорости точек как до взаимодействия, так и после него направлены по одной прямой. Разумеется, прямая, вдоль которой в центральной системе направлены скорости до взаимодействия, может не совпадать с прямой, вдоль которой направлены скорости после взаимодействия.

Запишем теперь условие сохранения кинетической энергии в центральной системе

Используя равенства (63) для исключения , получаем

т.е.

Аналогично, исключая из , находим

и, таким образом, устанавливаем, что в центральной системе абсолютная величина скорости каждой точки за время взаимодействия не меняется.

Используя формулы (61) и полагая , получаем

откуда следуют аналогичные равенства для алгебраических значений скоростей:

(здесь ). Воспользовавшись теперь равенствами (65), находим

или, вновь возвращаясь к векторной записи,

где — орт совпадающего (в силу ) направления скоростей и : в момент окончания взаимодействия.

Соотношения (67) выражают скорости в момент окончания взаимодействия в центральной системе через орт и скорости в момент начала взаимодействия в исходной системе. Для того чтобы найти аналогичные соотношения для окоростей в исходной системе, надо добавить к правым частям соотношений (67) переносную скорость, т. е. скорость центра инерции. Таким образом,

Теперь для того чтобы по скоростям, заданным в момент начала взаимодействия, полностью определить скорости в момент его окончания, осталось лишь найти орт . Вспомним, однако, что рассматривается временное взаимодействие в задаче двух тел, и поэтому задача сводится к изучению движения одной точки с приведенной массой в центральном поле . Используя применительно к этому движению равенство, из которого был получен ранее закон площадей

приравняем величину в начале и в конце взаимодействия, т. е. в моменты и .

откуда

Но (рис. III.12), так что

В моменты и точка находится на одной и той же поверхности уровня , и поэтому значения кинетической энергии равны , т. е. с точностью до знака , и, следовательно,

Рис. III.12

Иначе говоря, при временном взаимодействии скорость в конце взаимодействия и в начале его составляет с линией, соединяющей точки, один и тот же угол.

Меняется лишь «знак угла» (рис. III.12), так как по самой постановке задачи в начале взаимодействия уменьшается, а в момент окончания взаимодействия растет.

Если теперь скорость разложить на составляющие по направлению и по перпендикулярному направлению, то из изложенного следует, что . Отсюда вытекает, что

Деля это равенство на и учитывая, что , получаем

или

т. е. если известен орт направления и орт направления , то сразу находится и орт совпадающих направлений и .

Теперь равенства (68) и (69) полностью определяют скорости в конце взаимодействия, если известны скорости в момент начала взаимодействия.

Таким образом, изменение скорости за время временного центрального взаимодействия совершенно не зависит от вида потенциальной энергии , т. е. от конкретного вида центральной силы , и целиком определяется тем фактом, что сила центральная, а взаимодействие временное, и поэтому движение начинается и заканчивается на одной и той же поверхности нулевого уровня .

В качестве примера задачи, которую можно трактовать как задачу временного центрального взаимодействия двух тел, рассмотрим абсолютно упругое соударение двух тел. В этой задаче уже нельзя пренебрегать размерами рассматриваемых материальных объектов. Простоты ради мы будем считать, что соударяются шарики радиусов и , но что до соударения и после него они движутся поступательно по отношению к инерциальной системе отсчета, и поэтому могут рассматриваться как материальные точки.

Рис. III.13.

Собственно процесс соударения начинается с того момента, когда впервые возникает контакт между шариками. В этот момент расстояние между их центрами равно , а скорости в точке контакта соответственно равны (на рис. III.13 указаны только скорости шарика до соударения и после него). Во время наступающего затем процесса упругого соударения расстояние сначала уменьшается (за счет сжатия материала шариков), а затем вновь увеличивается (за счет их упругости). Если соударение абсолютно упругое (см. далее), то форма шариков восстанавливается и в момент потери контакта вместо скоростей и которые были до соударения, шарики приобретают скорости , которые могут отличаться от и как по величине, так и по направлению. Соударение называется идеальным абсолютно упругим, если во время этого процесса соударения выполняются следующие условия.

1° Возникающая между шариками сила упругого взаимодействия направлена вдоль прямой, соединяющей центры шариков (независимо от того, как направлены скорости , лишь бы происходило сжатие материала), а величина этой силы зависит только от расстояния между центрами .

2° В процессе сжатия нет потерь энергии, т. е. полная работа всех сил взаимодействия за время процесса взаимодействия равна нулю.

Рис. III.14.

Разумеется, эти условия не выполняются точно при соударении реальных шаров из любого материала. Вместе с тем абсолютно упругое соударение — удачная идеализированная модель для описания столкновения во многих случаях, когда потери энергии малы.

Потенциальная энергия в этой задаче зависит только от расстояния между центрами шаров; она равна нулю при и быстро нарастает, когда становится меньше (рис. III.14). Ударное взаимодействие начинается и заканчивается на одной и той же поверхности нулевого уровня при . Таким сбразом, выведенные выше формулы (68) полностью определяют скорости после соударения по скоростям до соударения. Тот факт, что угол а за время соударения не меняется по величине, а лишь меняет знак, иногда формулируют так: «угол падения равен углу отражения», имея в виду скорость одного из шариков в системе отсчета, связанной со вторым шариком.