§ 3. Положения равновесия

Положение системы материальных точек, определяемое в некоторой системе отсчета обобщенными координатами называется положением равновесия для наблюдателя, связанного с этой системой отсчета, если система материальных точек, будучи приведена в это положение с нулевыми скоростями остается в нем сколь угодно долго.

Из этого определения следует, что в положении равновесия все равны нулю, а это означает, что в фазовом пространстве положениям равновесия соответствуют только особые точки. Разрешим уравнения Лагранжа относительно старших производных, т. е. представим их в виде

тогда условия равновесия определятся так:

Если выполняются обычные условия единственности решений уравнений Лагранжа, то в стационарном случае более удобные условия равновесия определяет следующая

Теорема. Для того чтобы в стационарном случае некоторое положение системы

было положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении все обобщенные силы были равны нулю:

Доказательство. При исследовании уравнений Лагранжа было установлено, что в стационарном случае

где — квадратичная форма относительно Q с коэффициентами, зависящими только от ,

Подставляя это выражение в уравнения Лагранжа

и выполняя операции дифференцирования в левых частях, получаем уравнения Лагранжа в виде

где — коэффициенты, зависящие только от q, а членов, не содержащих множителей q или , в левых частях уравнений Лагранжа в стационарном случае нет.

Пусть — положение равновесия. По определению это значит, что данное положение не меняется во времени, т. е. что и поэтому .

Подставляя в уравнения , получаем сразу .

Предположим теперь, наоборот, что при имеют место равенства

Определим в этом случае решение, соответствующее начальным условиям

Непосредственно видно, что функции

(7)

удовлетворяют уравнениям (6) при . Уравнения алгебраически разрешимы относительно , и предполагается, что для них справедлива теорема о единственном решении при заданных начальных данных (см. § 3 гл. IV). Поэтому для уравнений (6) при условии решение (7) единственно. Иначе говоря, из того, что при все следует, что система, находящаяся в начальный момент в положении в нем и останется. Теорема доказана.

Условие

эквивалентно условию

Действительно, из (8) немедленно следует (9), но верно и обратное утверждение — из (9) следует (8), так как по определению обобщенные координаты , а значит, и независимы.

Сумма, стоящая в левой части равенства (9), равна элементарной работе всех приложенных сил на произвольном возможном перемещении рассматриваемой стационарной системы

Таким образом, доказанная теорема может быть сформулирована следующим образом:

Для того чтобы положение было положением равновесия стационарной системы, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении элементарная работа всех приложенных сил на любом возможном перемещении была равна нулю.

В такой формулировке доказанная теорема называется принципом возможных перемещений.

Если рассматривается система без механических связей, то любые перемещения системы возможны и слова «на любом возможном перемещении» могут быть заменены словами «на любом перемещении». Если же на систему наложены идеальные склерономные связи, то термин «любые возможные перемещения», как всегда, означает «любые малые перемещения, совместимые со связями».

Принцип возможных перемещений в стационарном случае определяет необходимые и достаточные условия равновесия. Он определяет необходимые условия равновесия и в том случае, когда система нестационарна, например, содержит идеальные реономные связи, — надо лишь слова «на любом возможном перемещении» заменить словами «на любом виртуальном перемещении». Установленный выше принцип называют в этом, более общем случае, принципом виртуальных перемещений.

Рассмотрим теперь консервативные системы, т. е. стационарные системы, на которые действуют только потенциальные силы, причем не зависит явно от времени. В этом случае

и условие (8) означает лишь, что все точки, где функция V имеет стационарные значения, в частности все точки экстремумов и точки перегиба функции V, являются точками равновесия системы.

В качестве примера (рис. VI.1) рассмотрим материальную точку, находящуюся на некоторой кривой в однородном поле тяжести (сила направлена вдоль оси у вниз). В этом случае система имеет одну степень свободы и , т. е. потенциальная энергия пропорциональна ординатам кривой, на которой находится точка.

Поэтому положениями равновесия являются точка минимума А, точка максимума В и все точки «плато» С.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из двух точек А я В, связанных нружиной и движущихся в плоскости по заданным кривым (рис. VI.2). В этом примере потенциальная энергия пропорциональна квадрату растяжения пружины, и поэтому положениями равновесия будут, например, положения и все точки «плато» , в которых эта длина достигает локальных экстремумов.

Рис. VI.1.

Рис. VI.2.

Подобным же образом в общем случае консервативной системы с n степенями свободы, когда потенциальная энергия является функцией от n обобщенных координат , положениям равновесия соответствуют точки координатного пространства, в которых достигаются стационарные значения функции .