§ 8. Канонические преобразования

Уравнения Лагранжа

ковариантны по отношению к любым преобразованиям координат q, t (см. стр. 280). Это значит, что как бы ни были выбраны преобразования q и t, для новых координат всегда может быть указан лагранжиан , такой, что в новых координатах уравнения движения имеют вид

Естественно возникает вопрос: по отношению к какому классу преобразований q и p ковариантны уравнения Гамильтона? Класс преобразований q, p, по отношению к которым уравнения Гамильтона ковариантны, называется классом канонических преобразований. Разъясним это определение подробнее.

Рассмотрим преобразование

которое переводит «старые» гамильтоновы переменные q и p в «новые» гамильтоновы переменные (время при этом не преобразуется: ).

Предположим, что равенства (113) могут быть разрешены относительно q и p, т. е. что якобиан преобразования и поэтому существуют обратные преобразования

Рассмотрим, далее, произвольную систему канонических уравнений Гамильтона с некоторым фиксированным гамильтонианом H и применим к ней преобразование (113). Может случиться, что полученные уравнения окажутся уравнениями Гамильтона с некоторым гамильтонианом . Но может случиться и так, что уравнения, полученные в результате преобразования, уже не будут иметь вид уравнений Гамильтона.

Преобразование (113) называется каноническим, если оно переводит любую гамильтонову систему

в новую гамильтонову систему

Разумеется, «новый» гамильтониан как функция новых переменных может отличаться от «старого» гамильтониана H как функции старых переменных q, p — именно поэтому речь идет о ковариантности, а не об инвариантности канонических уравнений по отношению к преобразованиям (113).

Канонические преобразования могут быть использованы для того, чтобы упростить систему уравнений Гамильтона, сделать ее более удобной для интегрирования. Далее канонические преобразования будут использованы для того, чтобы получить из уравнений Гамильтона иную форму уравнений движения — уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби.

В связи с понятием канонического преобразования естественно возникают две задачи.

1°. Задано преобразование (113). Определить, является ли оно каноническим.

2°. Задано преобразование (113) и известно, что оно каноническое. Задана также гамильтонова система с гамильтонианом . Определить гамильтониан преобразованной системы.

Первую задачу решает теорема, устанавливающая необходимые и достаточные условия каноничности преобразования.

Теорема. Для того чтобы преобразование (113) было каноническим, необходимо и достаточно, чтобы существовали такая функция и такое число с, чтобы тождественно выполнялось равенство

В формуле (114) — оператор дифференцирования функции от q, p, t при «замороженном» времени, т. е.

Для независимых переменных операции бис! совпадают. Поэтому

Доказательство. Докажем сначала необходимость условий теоремы. Пусть преобразование (113) каноническое. Тогда оно преобразует «старую» гамильтонову систему в «новую» гамильтонову систему. Для преобразованной, «новой» системы имеет место универсальный интегральный инвариант Пуанкаре

Используя преобразование (113), переведем равенство (115) в пространство q, p, t

(116)

При этом замкнутый контур переходит в замкнутый контур С в этой же плоскости .

Равенство (116) верно при любом t. Поэтому его левая часть является универсальным интегральным инвариантом первого порядка. По теореме Ли Хуачжуна такой инвариант может отличаться от инварианта Пуанкаре лишь на постоянный множитель с. Следовательно,

или

Это равенство верно при любом выборе I и при любом выборе контура , а значит, и С в плоскости . Поэтому оно выполняется лишь в том случае, когда подинтегральное выражение — полный дифференциал некоторой функции при . Обозначим ее — F. Тогда

Необходимость условий теоремы доказана.

Докажем достаточность этих условий. Пусть существуют число с и функция такие, что выполнено тождество (114). Пусть далее задана гамильтонова система

с гамильтонианом H, и пусть преобразования (113) переводят эту систему уравнений Гамильтона в некоторую систему дифференциальных уравнений

В плоскости пространства q, p, t выберем произвольный замкнутый контур С и выпустим из него трубку прямых путей заданной гамильтоновой системы.

Рис. VII.2.

Преобразование (113) переводит ее в трубку прямых путей системы (117), а контур С — в некоторый замкнутый контур , лежащий в той же плоскости (рис. VII.11).

Проинтегрируем теперь равенство (114) по контуру С:

Правая часть этого равенства содержит интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала и, следовательно, равна нулю; поэтому

Контурный интеграл, стоящий в правой части этого равенства, одинаков при любом контуре С в любой плоскости , так как исходная система гамильтонова и для нее имеет место интегральный инвариант Пуанкаре.

Значит, не меняется при этом и интеграл

Производя в нем замену переменных с помощью заданного преобразования (113), убеждаемся, что и интеграл

не зависит от выбора контура в плоскостях и сохраняется на любых сечениях плоскостями трубки прямых путей уравнений (117). Следовательно, для уравнений (117) имеет место интегральный инвариант Пуанкаре. Поэтому в силу доказанной выше теоремы (см. стр. 298—299) система уравнений (117) является гамильтоновой, т. е. существует гамильтониан такой, что в уравнениях (117)

Теорема доказана полностью.

По поводу доказанной теоремы сделаем следующее замечание. Теорема требует, чтобы выражение, стоящее в левой части тождества (114), было полным дифференциалом некоторой функции от q, p, t при «замороженном» времени . Перепишем левую часть тождества (114) так:

где

Условие того, что левая часть тождества (114) есть полный дифференциал (при , имеет вид

В связи с этим условие того, что преобразование (113) каноническое, может быть сведено к системе равенств

где — символ Кронекера. Если ввести в рассмотрение скобки Лагранжа

где в качестве x и у могут быть рассмотрены любые переменные b и р, то выписанную выше систему равенств можно компактно записать так:

Эти формулы позволяют эффективно установить, является ли заданное преобразование (113) каноническим; в том случае, когда преобразование оказывается каноническим, они позволяют вычислить величину с.

Приступим теперь к решению второй из сформулированных выше задач, т. е. задачи об определении гамильтониана по заданному гамильтониану H.

Теорема. Пусть преобразование (113) является каноническим, причем с и , при которых удовлетворяется тождество (114), известны. Тогда «новый» гамильтониан определяется по «старому» гамильтониану H, если в функции

выразить переменные q и p через при помощи преобразований (113), обратных преобразованиям (113).

Доказательство. Умножим на и вычтем результат из тождества (114)

или учитывая, что ,

В пространстве q, p, t выберем произвольный замкнутый контур С и выпустим из него трубку прямых путей гамильтоновой системы с гамильтонианом H. Пусть преобразования (113) переводят эту гамильтонову систему в некоторую «новую» систему гамильтоновых уравнений (по условию теоремы преобразование ), трубку прямых путей «старой» — в трубку прямых путей «новой» гамильтоновой системы, а замкнутый контур С — в замкнутый же контур .

Проинтегрируем равенство (119) по контуру С. Учитывая, что интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю, получаем

Для системы с гамильтонианом H имеет место интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Поэтому интеграл в правой части выписанного равенства не зависит от выбора контура С на трубке прямых путей этой системы. Значит, не зависит от выбора этого контура и интеграл в левой части равенства

Произведем теперь в этом интеграле замену переменных с помощью заданного преобразования (113)

Это равенство устанавливает интегральный инвариант Пуанкаре—Картана для «новой» гамильтоновой системы, и в силу обратной теоремы теории интегральных инвариантов функция является гамильтонианом этой системы. Теорема доказана.

Условимся теперь о следующей терминологии. Функцию F, входящую в формулы (114) и (119), будем называть производящей функцией (причины такого наименования будут разъяснены далее), а число с, входящее в эти формулы, — валентностью преобразования. Преобразование называется унивалентным, если условие (114) выполняется при .

Преобразование (113) называется свободным, если для первых его уравнений

якобиан отличен от нуля:

При выполнении этого условия уравнения (120) можно разрешить относительно p:

и в случае свободного преобразования формулы (113) можно записать так:

В случае свободных канонических преобразований можно задаваться произвольными старыми и новыми обобщенными координатами q и и определить по ним старые и новые импульсы p и . Старые импульсы находятся из первой группы уравнений (123), а новые импульсы — из второй группы этих уравнений (при подстановке вместо p выражений, полученных ранее из первой группы уравнений).

В случае свободных преобразований производящая функция F, входящая в правую часть критерия каноничности (114), также может быть представлена как функция только обобщенных координат (старых и новых) и времени

и формула (119), выражающая «новый» гамильтониан через «старый» гамильтониан H, принимает вид

При переходе от формулы (119) к формуле (125) в первой квадратной скобке в левой части равенства заменены на в соответствии с формулами (113).

Запишем теперь выражение для полного дифференциала, стоящего в правой части равенства (125), более подробно:

Приравнивая члены, стоящие слева и справа в качестве множителей при дифференциалах одних и тех же переменных, можно записать равенства

и, кроме того, равенство, связывающее старый и новый гамильтонианы:

Пусть теперь задана некоторая функция . Тогда в силу равенств и p, будут функциями тех же аргументов; обозначим эти функции через , соответственно:

Равенства (128) и (123) совпадают. Из этого следует, что выбор функции однозначно определяет свободное преобразование (123), и равенство (127) позволяет по заданному старому гамильтониану определить новый гамильтониан . Однако определенный так гамильтониан является функцией «смешанных переменных» q, p, , ибо H зависит от q, p, является функцией от . Чтобы найти как функцию только от и t, надо выразить q и p через новые переменные . Это можно сделать при помощи равенств (128), но только в том случае, когда первые n из этих равенств можно разрешить относительно q, т. е. когда

Поэтому произвольно выбранная нами функция должна удовлетворять условию (129).

Итак, произвольный выбор производящей функции S, удовлетворяющей условию (129), сразу позволяет получить как формулы для соответствующих свободных канонических преобразований, так и выражение для гамильтониана преобразованной системы через новые гамильтоновы переменные. В этом смысле выбор функции S и числа задает свободное каноническое преобразование.

Наоборот, если задаются «старый» гамильтониан H и «новый» гамильтониан , то равенство (127) служит для определения производящей функции S. Поэтому в случае свободных преобразований можно, задав гамильтониан непреобразованной системы и желаемый гамильтониан преобразованной системы, найти производящую функцию S и, зная ее, восстановить соответствующее каноническое преобразование.

Установленный выше критерий каноничности требует, чтобы левая часть выражения (114), содержащая параметр , при некотором значении этого параметра являлась бы полным дифференциалом. Иногда этот критерий используют в «упрощенной форме», полагая . Ясно, что в такой форме критерий не определяет уже необходимых и достаточных условий каноничности, а является лишь достаточным условием, и естественно возникает вопрос о том, сколь широко такое достаточное условие.

Чтобы выяснить это обстоятельство, рассмотрим два примера. Пример 1. Рассмотрим гамильтонову систему с одной степенью свободы и однопараметрическое семейство линейных преобразований

где — параметр.

Преобразования эти невырожденные, так как

Импульсы p и выражаются через q и :

Из условия следует, что если преобразования этого семейства являются каноническими, то они будут также и свободными.

Поэтому чтобы установить каноничность преобразований, воспользуемся критерием каноничности в форме

Все преобразования рассматриваемого семейства будут свободными каноническими преобразованиями, если при любом можно подобрать и функцию так, что выполняются равенства

Тогда из очевидного равенства

получаем

или

т. е.

Учитывая это, из соотношений

находим и производящую функцию

Новый гамильтониан вычисляется так:

Таким образом, установлено, что все преобразования рассматриваемого семейства при являются свободными каноническими преобразованиями валентности . Если бы в этом простейшем примере мы попытались использовать «упрощенный» критерий с , то установили бы каноничность только преобразования при и не могли бы установить каноничность всех остальных преобразований этого семейства.

Пример 2. Рассмотрим для произвольной гамильтоновой системы с n степенями свободы тривиальное «переобозначение фазовых координат»

Непосредственно видно, что любая гамильтонова система с гамильтонианом в силу этого преобразования переходит в гамильтонову систему с гамильтонианом и, следовательно, это преобразование каноническое. Из того факта, что H и отличаются только на постоянный множитель, следует (см. формулу (127)), что S не зависит от t и Но тогда

и , поскольку .

Таким образом, в этом тривиальном примере каноничность преобразования вообще не следует из упрощенного критерия каноничности с

Оба разобранных примера свидетельствуют о том, что учет является не украшением теории, а отражает само существо дела.

В заключение этого параграфа заметим, что последовательное выполнение нескольких канонических преобразований также представляет собой каноническое преобразование с валентностью с, равной произведению валентностей выполненных преобразований, так что множество канонических преобразований образует группу. Унивалентные преобразования составляют ее подгруппу.

Заметим также, что преобразование «растяжения координат»

представляет собой каноническое преобразование валентности . Поэтому, если задано преобразование

и известно, что оно является каноническим и имеет валентность с, то можно выписать преобразование

валентность которого равна произведению , т. е. унивалентное преобразование. Поэтому каждому неунивалентному преобразованию можно поставить в соответствие унивалентное, но для этого надо знать валентность с исходного преобразования.