Глава IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА)

§ 1. Общие представления о ковариантных формах уравнений движения

Движение системы, состоящей из N материальных точек, в инерциальной системе отсчета, в соответствии со вторым законом Ньютона, описывается дифференциальными уравнениями

где силы — функции от радиусов-векторов точек , скорости и времени .

Введем прямоугольную декартову систему координат и спроектируем уравнения (1) на оси этой системы; тогда система дифференциальных уравнений, определяющих изменение декартовых координат точек во времени, представится в виде

Если была бы выбрана не прямоугольная, а какая-либо косоугольная система прямолинейных координат, то дифференциальные уравнения в скалярной форме (в проекциях на оси) по-прежнему имели бы вид (2), но функции , стоящие в правых частях этих уравнений, соответственно изменились бы. Таким образом, при замене прямоугольной системы на косоугольную меняется вид функций, входящих в уравнения (2), но не меняется вид этих уравнений.

Разумеется, уравнения (1) можно заменить соответствующими скалярными соотношениями, выписанными в цилиндрических, сферических или каких-либо иных координатах (см. гл. I). Для этого достаточно выразить радиус-вектор , например, через цилиндрические координаты, вычислить вторую производную от радиуса-вектора и произвести соответствующие преобразования аргументов функций Конечно, уравнения, которые получаются непосредственно в результате таких подстановок, уже не будут представлены в форме, алгебраически разрешенной относительно вторых производных «новых», например, цилиндрических координат и, следовательно, по внешнему виду не будут совпадать с уравнениями (2). Кроме того, выведенные таким образом уравнения в цилиндрических и сферических координатах будут отличаться одни от других.

До сих пор речь шла о преобразованиях координат, не зависящих от времени. Рассмотрим теперь переход от декартовой системы координат к другой декартовой системе , равномерно движущейся относительно нее. Если в момент эти системы совпадали, то

где и — радиусы-векторы точки в системе соответственно; . Поэтому и .

Если система инерциальна, то уравнение (1) в координатах имеет вид

т. е. при таком преобразовании координат не изменился вид уравнения, но изменился лишь вид функций входящих в его правую часть.

Предположим теперь, что «новая» подвижная система координат не является декартовой. Ограничимся пока простейшим случаем — одной материальной точкой.

Пусть преобразование координат задано формулами

тогда

и

где — совокупность слагаемых, не содержащих вторых производных

Выражая в уравнениях (2) при старые переменные через новые переменные при помощи формул , получаем

где — некоторые функции от новых координат новых скоростей и времени. По виду уравнения (7) существенно отличаются от уравнений (2) хотя бы потому, что уравнения (7) в отличие от (2) не разрешены алгебраически относительно старших производных.

Эти примеры поясняют понятие «ковариантная форма записи уравнений движения», взеденное в гл. II: форма записи уравнений называется ковариантной по отношению к некоторому семейству преобразований, если при любом преобразовании из этого семейства форма записи уравнений не меняется, а меняются лишь содержащиеся в этой записи функции от новых (преобразованных) координат, первых производных и времени.

Если иметь в виду преобразования вида (4), то этому определению удовлетворяют уравнения движения в форме (7) с соответствующим общим выражением функций . Однако такая ковариантная форма уравнений движения неудобна, потому что она содержит для каждой точки 12 функций, меняющих свой вид при преобразовании — ими являются функции , и девять частных производных в правых частях уравнений (7), т. е. функций для системы из N точек. Кроме того, функции, входящие в уравнения (7), лишены механического смысла.

Далее в этой главе будет введена более удобная запись уравнений движения, ковариантная по отношению к произвольным точечным преобразованиям вида (4). Эта запись для системы из N точек будет содержать только функций, меняющихся при преобразовании координат; выражения для этих функций сравнительно просты, и они имеют ясный механический смысл. Более того, в важном случае движения в произвольном потенциальном (в том числе и в нестационарном) поле уравнения, описывающие систему из N точек, будут содержать лишь одну такую функцию.

Для того чтобы в удобной форме получить эти уравнения, представим себе, что мы выбрали некоторую произвольную систему координат, т. е. выбрали три независимых числа таких, что они однозначно определяют положение точки в пространстве. В этих координатах положения N точек определяются числами — значениями координат всех точек. Сохраняя обозначения для декартовых координат, введем обозначения , где , для новых координат (цилиндрических, сферических или каких-либо иных) и будем условно называть декартовы координаты «старыми», а координаты — «новыми». Тогда в силу того, что новые координаты полностью определяют положение всех точек системы, декартовы координаты точек являются функциями новых координат и, быть может, времени:

т.е.

Назовем преобразование (8) стационарным, если все функции не зависят явно от .

Дифференцируя выражения (8) с учетом того, что — независимые переменные, получаем соотношения между дифференциалами старых и новых координат

или

Введем в рассмотрение два знака дифференциала, обозначая их буквами d и . Символ d будет использоваться для обозначения обычного, общепринятого дифференциала; под операцией же вычисления понимается вычисление дифференциала функции F при предположении, что t, явно содержащееся под знаком функции F, заменено константой, т. е.

Таким образом, в соответствии с формулой (8)

В случае, когда преобразование стационарно, формулы (10) и (12) совпадают.

Для независимых переменных символы d и имеют один и тот же смысл; поэтому далее в этой книге для дифференциалов независимых переменных и т. д. будут использоваться как обозначения и т. д., так и обозначения и т. д.

Хотя в системах, которые мы сейчас рассматриваем, может быть равно лишь , мы нигде далее в этой главе этим обстоятельством пользоваться не будем. Это позволит в конце главы сделать важное обобщение полученной ковариантной формы уравнений движения на системы с механическими связями. Имея в виду такое обобщение, мы будем считать, что не обязательно равно , а удовлетворяет неравенству причем если , то среди функций содержится по крайней мере независимых функций. Поскольку неравенство нестрогое (равенство допускается), все дальнейшие рассуждения относятся к интересующему нас сейчас случаю перехода от декартовых к «новым» координатам для системы без механических связей.

Для упрощения записи условимся далее везде, где это не может вызвать недоразумений, в суммах вида пределы суммирования опускать, т. е. вместо писать просто .