§ 3. Момент количества движения системы материальных точек (кинетический момент)

Рассмотрим вектор количества движения материальной точки системы. Выберем в нашей инерциальной системе произвольный полюс А и определим момент вектора относительно этого полюса так же, как мы делали выше для сил:

(15)

где — радиус-вектор, проведенный из полюса А к материальной точке.

Вектор называется моментом количества движения точки относительно полюса А. Главным моментом количества движения системы материальных точек относительно полюса А или кинетическим моментом системы относительно этого полюса называется вектор

Общности ради предположим теперь, что полюс А сам движется относительно той же самой инерциальной системы отсчета, по отношению к которой рассматривается движение системы материальных точек.

Рис. III.2.

Пусть — скорость полюса в некоторый момент. Обозначим далее через радиус-вектор из начала координат инерциальной системы отсчета к полюсу А, через — радиус-вектор из начала координат к точке системы, а через — радиус-вектор к этой же точке системы, отложенный из движущегося полюса А (рис. III.2); тогда

Дифференцируя это тождество, находим

По определению

Дифференцирование по t дает

Но и ; используя эти равенства и меняя порядок сомножителей в векторном произведении, окончательно получаем

В частном случае, когда полюс А неподвижен относительно рассматриваемой инерциальной системы или совпадает с центром инерции С, векторное произведение в правой части выражения (17) равно нулю и производная равна

Таким образом, мы доказали теорему об изменении кинетического момента:

Производная от кинетического момента системы материальных точек (относительно неподвижного полюса) равна главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы, относительно этого же полюса.

Для замкнутых систем выполняется условие так как на материальные точки замкнутой системы не действуют внешние силы. Поэтому при движении замкнутой системы материальных точек ее кинетический момент относительно любого неподвижного полюса не меняется. Это утверждение называется законом сохранения кинетического момента.

Если система не замкнута, но относительно какого-либо полюса , то из формулы (18) следует, что

(19)

Главный момент не зависит от выбора полюса только тогда, когда главный вектор . Поэтому у незамкнутых систем во время движения для любого полюса А, если одновременно выполнены два условия: для некоторого фиксированного полюса В и, кроме того, .

Разумеется, аналогичные утверждения верны и для проекций вектора на ось. Проектируя равенство (18) на произвольную неподвижную ось , получаем

(20)

где — кинетический момент относительно оси , а — главный момент внешних сил относительно той же оси.

Если , то , т. е. при движении вектор изменяется так, что его проекция на направление остается неизменной.