§ 2. Геометрия масс твердого тела

Формулы содержат одну и ту же величину — момент инерции относительно некоторой оси. Понятие о моменте инерции является центральным при изучении движения тела и будет далее играть важную роль, поэтому мы остановимся на нем подробнее. Момент инерции относительно оси является скалярной величиной, характеризующей не только массу тела, но и распределение ее относительно оси. Сохраняя общую массу тела и меняя лишь расстояние точек тела от оси, можно менять момент инерции и оказывать этим существенное влияние на такие важные характеристики движения, как кинетическая энергия и кинетический момент.

Рассмотрим следующую задачу: предположим, что нам известен момент инерции тела относительно некоторой оси l, вычисленный по формуле (10); требуется определить момент инерции этого же тела относительно иной оси, параллельной оси l и проходящей через центр инерции С. Задачу эту решает

Рис. V.2.

Теорема (Гюйгенса — Штейнера). Момент инерции тела относительно произвольной оси l равен моменту инерции тела относительно оси, параллельной l и проходящей через центр инерции С, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями, т. е.

где d — расстояние между осями.

Доказательство. Рассмотрим точку тела с массой (рис. V.2). Обозначим через расстояние от точки до оси z, проведенной через центр инерции параллельно оси , а через — расстояние от этой же точки до оси l; тогда

Умножая обе стороны равенства (16) на и суммируя по всем точкам тела, получаем

(17)

Выражение в левой части равенства (17) равно . Первая сумма в правой части равна , т. е. моменту инерции относительно оси, параллельной оси l и проходящей через центр инерции тела. Следующий член в правой части уравнения (17) равен , где d — расстояние между осями x и l.

Нам осталось показать лишь, что последний член в формуле (17) равен нулю. Чтобы сделать это, выберем начало координат на оси z и направим ось у так, чтобы она пересекала ось l (см. рис. V.2). Тогда последнюю сумму в правой части выражения (17) можно переписать так:

Этот член равен нулю в связи с тем, что по построению ось z проходит через начало координат, и следовательно, координата центра инерции равна нулю. Теорема Гюйгенса — Штейнера доказана.

Теорема Гюйгенса—Штейнера удобна в том отношении, что она позволяет использовать приведенные в справочниках моменты инерции типичных фигур и тел относительно стандартных осей, проходящих через центр инерции, для вычисления моментов инерции относительно других осей, параллельных стандартным. Теорема эта не помогает, однако, вычислить моменты инерции относительно осей, образующих заданные углы со стандартными. Поэтому естественно возникает вопрос о том, как меняется момент инерции при повороте оси.

Рис. V.3.

Рассмотрим систему декартовых координат x, у, z и предположим, что моменты инерции тела относительно этих осей заданы. Пусть, далее, задана ось , полностью ориентированная относительно осей x, у, z (рис. V.3). Говоря, что ось полностью ориентирована относительно системы координат, мы утверждаем тем самым, что задан ее орт , т. е. заданы направляющие косинусы. Обозначим их (именно направляющие косинусы, а не углы!) через соответственно. Требуется по заданным моментам инерции относительно осей x, у, z и направляющим косинусам определить моменты инерции относительно оси .

В соответствии с рис. V.3 расстояние точки тела от оси составляет . Заметим, что такую же абсолютную величину имеет векторное произведение радиуса-вектора на орт осн . Таким образом,

Но

и поэтому

Умножив теперь левую и правую части равенства (21) на и просуммировав выражение по всем точкам тела, получим

Правая часть формулы (22) содержит шесть сумм. Под знаками первых трех сумм в скобках оказались выражения, равные квадратам расстояний точки от осей x, у и z соответственно:

Поэтому формулу (22) можно переписать так:

В правой части этого равенства первые три члена содержат моменты инерции относительно осей x, у и z соответственно. Что же касается остальных трех сумм, то они выражают геометрические характеристики распределения масс, которые отличаются от введенных выше моментов инерции. Обозначим каждую из этих сумм буквой J с двойным индексом, указав в качестве этих индексов координаты, фигурирующие в соответствующих суммах:

Тогда равенство (23) можно окончательно представить в виде

Входящие в формулу (25) выражения (24) называются центробежными моментами инерции (или произведениями инерции) тела относительно системы осей х, у, z. Очевидно,

(26)

В этом смысле существуют не три, а шесть центробежных моментов инерции для данной системы координат х, у, z, но они попарно равны между собой в силу симметрии формул (24).

Вернемся теперь к формуле (25). Она указывает, что поставленная выше задача об определении момента инерции относительно некоторой оси, полностью ориентированной по отношению к декартовой системе осей, лишь по моментам инерции этого же тела относительно декартовых осей, вообще говоря, не имеет решения — надо знать еще центробежные моменты этого же тела, которые не определяются через моменты инерции относительно трех ортогональных осей.

Для определения момента инерции относительно произвольно ориентированной оси нужно знать шесть (точнее, девять, но в силу симметрии три из них попарно равны друг Другу) скалярных величин: три момента инерции относительно ортогональных осей и три центробежных момента инерции.

Момент инерции тела относительно некоторой оси определяется только тем, как распределены массы тела относительно этой оси, и, разумеется, совершенно не зависит от того, каким образом выбрана система координат, по отношению к которой моменты инерции известны. При изменении системы координат изменяется шестерка указанных чисел — характеристик этой системы, но изменяется и ориентация рассматриваемой оси относительно системы, т. е. направляющие косинусы общее же выражение, позволяющее определить момент инерции тела через характеристики избранной системы и направляющие косинусы, остается одним и тем же и задается формулой (25). Можно показать, что при повороте системы декартовых координат x, у, z относительно рассматриваемой точки О моменты инерции и центробежные моменты инерции изменяются в соответствии с формулами, определяющими симметрический тензор второго ранга. Поэтому матрица

определяет тензор второго ранга. Его называют тензором инерции тела. В силу соотношений (26) тензор инерции тела является симметрическим тензором.

Тензор инерции — важнейшая характеристика твердого тела.

Свяжем теперь с тензором инерции удобный геометрический образ. Выберем произвольную систему координат x, у, z и произвольно ориентированное в этой системе направление оси I с ортом е. Отложим вдоль оси l из начала координат отрезок ON, равный (рис. V.4). Пусть x, у, z — координаты точки N. Найдем уравнение геометрического места точек N для всех возможных осей l.

Вспоминая, что — направляющие косинусы орта , можно записать

Подставляя эти выражения в формулу (25), получаем

(29)

Таким образом, геометрическим местом концов указанных отрезков, т. е. геометрическим местом точек N, является поверхность второго порядка. По самому построению длина отрезка ON на рис. V.4 отлична от нуля и ограничена, так как для любого конечного тела момент инерции — величина, отличная от нуля и ограниченная. Среди поверхностей второго порядка ограничены лишь эллипсоиды (в частности, сферы). Следовательно, геометрическим местом точек N является эллипсоид. Построенный так эллипсоид называется эллипсоидом инерции для точки О. Уравнение (29) является уравнением эллипсоида инерции для этой точки. Непосредственно видно, что задание тензора инерции однозначно задает эллипсоид инерции.

Таким образом, для данного тела с каждой точкой пространства связывается геометрический образ — эллипсоид, который изменяется при переходе от одной точки пространства к другой.

Как известно из аналитической геометрии, для любого эллипсоида существуют главные оси. В главных осях уравнение эллипсоида имеет вид

где а, b, с — полуоси эллипсоида.

Рис. V.4.

В связи с тем, что полуоси эллипсоида равны расстояниям от его центра до поверхности, они равны

Подставляя выражения (31) в (30), получаем уравнение эллипсоида инерции в главных осях

Сравнивая теперь уравнение эллипсоида инерции, записанное в главных осях в форме (32), и уравнение эллипсоида инерции (29), записанное в произвольно выбранных осях, заключаем, что в системе координат, оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, центробежные моменты инерции равны нулю:

Если эллипсоид инерции отличен от сферы и не является эллипсоидом вращения, то существует единственная система главных осей. При этих условиях в каждой точке пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем, что по отношению к этой системе центробгжные моменты инерции равны нулю. Оси, удовлетворяющие этому условию, называются главными осями инерции тела для рассматриваемой точки, а моменты инерции относительно этих осей — главными моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр инерции тела, называются главными центральными осями инерции.

Таким образом, основная характеристика геометрии масс — тензор инерции тела — позволяет ввести две важные характеристики распределения масс тела по отношению к рассматриваемой точке пространства: первой характеристикой является эллипсоид инерции, построенный в этой точке, второй — связанная с ним система главных осей инерции. При переходе от одной точки к другой, вообще говоря, меняются как эллипсоид инерции, так и направления главных осей. Разумеется, существует исключительный случай, когда главными осями инерции являются любые ортогональные оси, пройденные через рассматриваемую точку, — такой случай имеет место, когда эллипсоид инерции в точке является сферой.

Сделаем теперь несколько замечаний, касающихся главных осей и моментов инерции.

Замечание 1. До сих пор, говоря «главные оси инерции», мы имели в виду всю систему ортогональных декартовых осей. Рассмотрим теперь случай, когда в точке О при некотором выборе осей

Мы покажем далее, что в этом случае можно повернуть систему координат вокруг оси z на такой угол (он находится единственным образом), что в новой системе координат x, у, z все три центробежных момента будут равны нулю:

В таких случаях говорят, что ось z (а не вся система координат!) является главной осью инерции в точке О. Вообще, если два центробежных момента инерции равны нулю, а третий отличен от нуля, то ось, соответствующая общему индексу равных нулю центробежных моментов инерции, называется главной осью инерции в точке О.

Тот факт, что такой поворот координат действительно возможен и является единственным, следует немедленно из формул, выражающих новые координаты через старые при повороте системы координат относительно оси z:

Используя равенства (34) и условие вычислим моменты инерции

(35)

Таким образом, два центробежных момента инерции, равные нулю до поворота системы координат, остаются равными нулю при любом повороте вокруг оси z. Подсчитаем теперь

Поскольку

из формулы (36) непосредственно следует, что существует единственный угол , при котором :

Указанные выше рассуждения оправдывают наименование «главная ось инерции» для отдельно взятой оси.

Замечание 2. Пусть в точке О задана система координат x, у, z, и пусть ось z является главной для точки О. Выясним, остается ли она главной для любых других точек, лежащих на этой оси. Иначе говоря, выберем произвольную точку A на оси z и проведем через нее оси , параллельные осям x, у (ось совпадает с осью z; см. рис. V.5). Будет ли ось z главной также и для точки А?

Новые координаты точек выражаются через старые .

(а=ОА), и поэтому центробежные моменты инерции относительно новых осей равны

Из того факта, что старые моменты инерции равны нулю, следует, что новые моменты инерции равны нулю тогда и только тогда, когда , т. е. когда центр на оси z.

Рис. V.5.

Рис. V.6.

Таким образом, главная ось инерции остается главной для всех своих точек тогда и только тогда, когда она является главной центральной осью инерции.

Замечание 3. Если у тела есть ось материальной симметрии, то она является главной центральной осью инерции этого тела.

Осью материальной симметрии называется ось, обладающая следующим свойством. Если из произвольной точки с массой провести прямую, перпендикулярную этой оси, то на продолжении такой прямой найдется другая точка с точно такой же массой , расположенная от прямой на том же самом расстоянии (рис. V.6).

Приняв ось материальной симметрии за ось z и направив из ее произвольной точки О любым образом оси (но так, чтобы система x, у, z была правой), замечаем, что из свойств материальной симметрии следует, что для каждой точки тела с координатами и массой можно найти в теле точку с той же массой и с координатами — . Поэтому центробежные моменты инерции и равны нулю, так как в этих суммах все члены попарно уничтожаются. Следовательно, ось материальной симметрии — главная ось инерции для любой своей точки. Она является центральной осью, поскольку центр инерции С расположен на оси материальной симметрии.

Замечание 4. Если в теле есть плоскость материальной симметрии, то любая прямая, перпендикулярная этой плоскости, является главной осью для точки, в которой эта прямая пересекает плоскость материальной симметрии.

Говорят, что тело имеет плоскость материальной симметрии, если для любой точки с массой можно найти другую точку с такой же массой, которая лежит на общем перпендикуляре к плоскости и на одинаковом от этой плоскости расстоянии, но по другую сторону от нее. Выберем в плоскости материальной симметрии произвольную точку О и проведем через нее перпендикулярную плоскости ось z, а оси x и у поместим в самой плоскости. Тогда для любой точки с массой и с координатами в теле найдется точка с той же массой и с координатами . Поэтому в суммах и также все члены попарно уничтожаются и

Если в некоторой точке можно указать три главные оси инерции такие, что через любые две из них нельзя провести плоскость, перпендикулярную третьей, то эллипсоид инерции для этой точки заведомо является сферой. Иногда это можно обнаружить, используя настоящее замечание.

В качестве примера рассмотрим однородный куб. Проведем через центр куба три плоскости материальной симметрии: две из них параллельны граням, а третья проходит через два противоположных ребра. В силу настоящего замечания перпендикуляры к этим плоскостям, проведенные через центр куба, представляют собой главные оси инерции; вместе с тем они удовлетворяют указанному выше условию.

Следовательно, эллипсоид инерции куба для его центра является сферой.

Заметим, между прочим, что хотя моменты инерции куба относительно трех ребер, проходящих через его вершину, одинаковы, эллипсоид инерции для вершины куба заведомо отличен от сферы. Действительно, равные моменты инерции относительно трех указанных выше перпендикуляров, проведенных через центр куба, при переносе осей в вершину получают различные приращения, и результирующие моменты инерции будут разными. Читателю предлагается самому найти главные оси инерции для вершины куба.

Замечание 5. Для однородных тел вращения ось вращения и любые две взаимно перпендикулярные и перпендикулярные ей прямые образуют систему главных осей инерции. Действительно, ось вращения всегда является осью материальной симметрии и поэтому в силу замечания 3 является главной осью инерции. Для тела вращения любая плоскость, проходящая через ось вращения, является плоскостью материальной симметрии. Выберем поэтому на оси вращения произвольную точку и проведем через нее две взаимно перпендикулярные прямые, перпендикулярные оси вращения. Проводя затем поочередно плоскости через ось вращения и каждую из этих прямых, убеждаемся, что в силу замечания 4 вторая прямая, перпендикулярная проведенной плоскости, является главной осью инерции. Утверждение доказано.

Замечание 6. Моменты инерции произвольного тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей удовлетворяют «неравенствам треугольника», т. е. неравенствам

Докажем два из этих неравенств (остальные доказываются аналогично). По определению

поэтому

Первое слагаемое в правой части этого равенства — не что иное, как , а второе слагаемое неотрицательно. Таким образом,

откуда

Для плоской фигуры, лежащей в плоскости , и мы имеем

Рассмотрим, например, однородный диск радиуса и поместим начало координат в его центр, направив ось z перпендикулярно плоскости диска. Так как для диска , сразу имеем

и мы (без всякого интегрирования!) подсчитали момент инерции диска относительно диаметра.

Первые пять замечаний позволяют в некоторых важных случаях сразу указать главные или даже главные центральные оси инерции. В общем случае для нахождения главных осей инерции надо по обычным правилам линейной алгебры привести квадратичную форму (29) к каноническому виду (к главным осям).

Если оси координат неподвижны и тело движется относительно этих осей, то моменты инерции тела относительно этих осей меняются во время движения. Между тем моменты инерции являются важными характеристиками движения и войдут далее в его уравнения. Естественно поэтому, что при исследовании движения твердого тела оказывается более удобным ввести в рассмотрение оси, жестко связанные с телом и движущиеся вместе с ним. Тогда моменты инерции тела по отношению к таким осям уже не меняются.

Моменты инерции тела относительно осей , жестко связанных с телом, принято обозначать первыми буквами латинского алфавита А, В, С, D, Е, F, а именно

Для осей, жестко связанных с телом, формулу (25) можно теперь переписать так: