§ 4. Преобразования систем скользящих векторов. Сведение систем скользящих векторов к простейшим системам

Система скользящих векторов, образующих пучок, всегда эквивалентна одному вектору. Система скользящих векторов, не образующих пучок, лишь в частных случаях эквивалентна одному вектору. Однако всегда имеет место

Теорема 6. Любая система скользящих векторов эквивалентна двум векторам, один из которых проходит через произвольно заданную точку.

Доказательство. Возьмем какой-либо вектор из рассматриваемой системы и выберем произвольно три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.

Выберем на линии действия , любую точку , такую, что А, В, С и О, не лежат в одной плоскости, перенесем вектор в эту точку и разложим по направлениям трех прямых, проходящих через точку О; и черезточки А, В и С (рис. ). Заменим вектор тремя полученными так составляющими и перенесем их вдоль линий действия в точки А, В, С.

Рис..

Если мы поступим аналогично со всеми векторами системы, то в точках А, В и С получатся три пучка векторов; замена каждого пучка его суммой даст векторы . Эти три вектора эквивалентны исходной системе скользящих векторов, поскольку мы пришли к ним элементарными преобразованиями.

Проведем плоскость через вектор и точку А и плоскость через вектор и точку А (рис. ). На линии пересечения этих плоскостей возьмем произвольную точку D и проведем прямые BD, ВA, CD и СА. Разложим по этим направлениям соответственно, перенесем полученные векторы в точки А и D и заменим пучки, получившиеся при этом в точках А и D, их суммами . Теперь исходная система элементарными преобразованиями сведена к двум векторам и , причем точка А с самого начала была выбрана произвольно.

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь следующую задачу: заданы две различные системы скользящих векторов. Требуется определить, эквивалентны ли они, т. е. можно ли одну из них перевести в другую последовательностью элементарных преобразований. Опираясь на доказанную выше теорему 6, можно доказать следующую теорему, устанавливающую общий критерий эквивалентности двух систем скользящих векторов.

Рис. П.16.

Теорема 7. Для эквивалентности двух систем скользящих векторов необходимо и достаточно, чтобы эти системы имели равные главные векторы и равные главные моменты относительно произвольно выбранного полюса.

Замечание. Выбор полюса произволен, так как если моменты равны относительно какого-либо полюса, то они равны относительно любого другого полюса в силу равенства главных векторов.

Доказательство. Необходимость. Если две системы эквивалентны, то это означает, что любая из них получается из другой элементарными преобразованиями, а элементарные преобразования не меняют ни главного момента, ни главного вектора системы (теорема 5).

Достаточность. Пусть две системы имеют одинаковые главные моменты и главные векторы. Покажем их эквивалентность. Введем систему так, чтобы каждый вектор из образовывал с вектором из векторный нуль.

Тогда система , т. е. совокупность всех векторов , эквивалентна векторному нулю и поэтому

По условию главные векторы и главные моменты систем совпадают. Следовательно, для систем они противоположны. Поэтому главный вектор и главный момент системы равны нулю.

Рассмотрим систему и элементарными преобразованиями сведем ее к двум векторам (это возможно в силу теоремы 6). Элементарные преобразования не меняют ни главного вектора, ни главного момента, так что главный момент и главный вектор этих двух векторов также будут равны нулю. Но это возможно лишь тогда, когда два вектора образуют векторный нуль. Отсюда следует, что система эквивалентна векторному нулю и ее можно отбрасывать от любой системы, не нарушая эквивалентности .

Из изложенного следует, что

Теорема доказана.

Введем теперь понятие простейших систем скользящих векторов. Назовем простейшими следующие четыре системы:

1) систему, состоящую из одного вектора (рис. П. 17, а);

2) систему, состоящую из двух векторов, образующих векторный нуль (рис. П.

Рис. П.17.

3) систему, состоящую из двух векторов, равных по величине и действующих в противоположные стороны вдоль параллельных (не совпадающих) прямых (рис. П. 17, в); такая система называется парой;

4) систему, состоящую из трех векторов, из которых два образуют пару, а линия действия третьего вектора перпендикулярна плоскости, в которой лежит пара (рис. П.17, г); система такого рода называется винтом.

Мы докажем теперь основную теорему теории систем скользящих векторов.

Теорема 8. Произвольная система скользящих векторов эквивалентна одной из простейших.

Доказательство. В §2 было показано, что скалярное произведение является инвариантом, т. е. полностью определяется рассматриваемой системой векторов и не зависит от выбора полюса О. По

где — угол между вектором и вектором R, построенным в О, а — проекция вектора на направление вектора .

Разделим теперь весь класс систем скользящих векторов на четыре подкласса, определив их следующим образом: первый подкласс — системы, у которых ; второй подкласс — системы, у которых ; третий подкласс — системы, у которых (в связи с тем, что или в связи с тем, что ); четвертый подкласс — системы, у кэторых .

Легко видеть, что каждая система скользящих векторов принадлежит одному и только одному из этих подклассов. Рассмотрим теперь каждый из этих четырех подклассов по отдельности.

Рис. П.18.

Пер подкласс. Если система А скользящих векторов относится к первому подклассу, то у нее и в силу теоремы 4 существует центральная ось системы. Поставим в соответствие системе А другую систему , состоящую из трех векторов, выбранных так: один из них по величине и направлению совпадает с главным вектором R системы А и действует вдоль ее центральной оси, а два других вектора образуют пару в перпендикулярной центральной оси плоскости П, имеющую момент, в точности равный системы А.

Система винтом (рис. ). Выберем полюс О на центральной оси системы А; тогда сразу видно, что главные векторы и главные моменты относительно О систем А и одинаковы. Но в силу теоремы 7 системы А и эквивалентны, следовательно, любая система из первого подкласса эквивалентна винту.

Второй подкласс. Пусть задана какая-либо система А из этого подкласса. У нее , но . Поставим ей в соответствие другую систему , состоящую из двух векторов, образующих пару, момент которой в точности равен М системы А. У пары по определению , и поэтому у системы как R, так и М совпадают с R и М заданной системы А. В силу теоремы 7 заданная система А эквивалентна системе . Поэтому всякая система из второго подкласса эквивалентна паре.

Третий подкласс. Рассмотрим систему А из третьего подкласса. В силу теоремы 4 у нее существует центральная ось, так как Поставим в соответствие системе А другую систему , состоящую только из одного вектора R, действующего вдоль центральной оси и совпадающего по величине и направлению с главным вектором системы А (рис. П. 19).

Рис. П.19.

Полюс О выберем на центральной оси. Системы А и имеют по построению одинаковый главный вектор R. Главный момент системы относительно О равен нулю, так как ее единственный вектор проходит через О, а главный момент системы А относительно лежащего на центральной оси полюса равен нулю, так как эта система относится к третьему подклассу. Следовательно, в силу теоремы 7 системы А и эквивалентны, т. е. каждая система из третьего подкласса эквивалентна системе, состоящей из одного вектора.

Четвертый подкласс. У системы А из этого подкласса . В качестве системы выберем произвольный векторный нуль.

Тогда у также , как бы ни был выбран полюс О. Следовательно, любая система из этого подкласса эквивалентна векторному нулю.

Теорема 8 доказана.

В силу теоремы 8 все системы скользящих векторов подразделяются на четыре подкласса в зависимости от того, какой простейшей системе они эквивалентны. В ходе доказательства теоремы 8 была получена таблица IV.

Таблица IV

Сделаем теперь несколько замечаний о системах каждого из этих подклассов.

Начнем с систем из третьего подкласса. Каждая система из этого подкласса эквивалентна одному вектору; этот вектор называется равнодействующим. Равнодействующий вектор всегда совпадает с главным вектором системы, а линией его действия служит центральная ось. Выберем полюс О на центральной оси. У системы, принадлежащей третьему подклассу, главный момент относительно О равен нулю. Перейдем к полюсу О, не лежащему на центральной оси; тогда в силу теоремы 1

Но , т. е. главный пектор, приложенный в О, и является равнодействующим. Поэтому главный момент системы из третьего подкласса относительно произвольного полюса равен моменту равнодействующего вектора относительно этого же полюса. Это утверждение иногда называют обобщенной теоремой Вариньона.

Теперь рассмотрим системы из второго подкласса. Каждая система из третьего подкласса эквивалентна единственной совершенно конкретной простейшей системе.

Такого соответствия нет для систем из второго подкласса — каждой из них эквивалентно бесчисленное множество простейших систем — эквивалентных между собой пар.

Главный момент любой системы из второго подкласса (в том числе и главный момент пары) не зависит от выбора полюса, так как у таких систем по определению . Легко видеть, что главный момент пары направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы пары, и равен произведению величины одного из них на — расстояние между векторами пары. Это расстояние называют плечом пары (рис. ), а главный момент пары называют просто моментом пары. Момент пары не меняется, если либо переносить пару, не меняя ее, в плоскости ее действия, либо при таком переносе изменять векторы пары и плечо так, чтобы их произведение не менялось, либо, наконец, если таким же образом переносить пару в параллельную плоскость. Этими тремя преобразованиями можно построить бесчисленное количество пар, эквивалентных заданной паре. Значит, и каждой системе из второго подкласса эквивалентна любая из бесчисленного числа различных пар, эквивалентных между собой.

Обратимся к системам из первого подкласса. Из приведенных выше рассуждений следует, что у винта можно заменить входящую в его состав пару любой эквивалентной ей, сохраняя при этом эквивалентность полученного винта исходному винту. В этом смысле каждая система из первого подкласса эквивалентна бесчисленному количеству винтов, эквивалентных между собой и отличающихся только парами.

Исследуем, наконец, системы из четвертого подкласса. Системы из этого подкласса, эквивалентные векторному нулю, называются уравновешенными. Условия того, что система скользящих векторов принадлежит четвертому подклассу

(точка О произвольна), называются условиями равновесия системы скользящих векторов.

Рис. П.20.

Рассматривая эти два условия в проекциях на оси координат, получаем следующие необходимые и достаточные условия равновесия системы скользящих векторов:

где (соответственно ) — главные моменты системы (соответственно моменты отдельных ее векторов) относительно осей х, у и z. Таким образом, в общем случае независимо от числа векторов, входящих в систему, существует шесть скалярных равенств — условий равновесия. Для систем скользящих векторов какого-либо специального вида может оказаться, что условий равновесия меньше шести, так как при надлежащем выборе системы координат у таких систем некоторые из условий (8) обращаются в тождества.

Рассмотрим теперь подробнее некоторые частные виды систем скользящих векторов, которые часто встречаются в задачах механики.

1. Пучок скользящих векторов. Выберем полюс О в точке пересечения линий действия векторов пучка. Ясно, что и поэтому пучок может являться лишь системой из третьего (если ) или четвертого (если подкласса (см., табл. IV). Поэтому пучок либо сводится к равнодействующему вектору, либо уравновешен.

Если , то равнодействующий вектор Ф существует; он совпадает с вектором R, если линия действия R проведена через О. Условия равновесия сводятся к равенству или — в скалярной форме — к трем равенствам

Условия в (8), а значит, и соответствующие три условия в (8) сводятся в этом случае к тождествам вида .

2. Плоская система скользящих векторов. В этом случае вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы, a R лежит в ней (рис. ).

Следовательно, R, если он отличен от нуля, перпендикулярен .

Поэтому плоская система скользящих векторов заведомо не может принадлежать первому подклассу. Если у такой системы , то она принадлежит третьему подклассу, т. е. сводится к равнодействующему вектору. Он лежит в этой же плоскости, по величине и направлению совпадает с R, а для определения его линии действия достаточно определить какую-либо точку О плоскости, для которой , и провести через нее прямую, параллельную направлению R. Такая прямая заведомо является центральной осью, ибо в ее точках во всех иных точках (в силу теоремы 1).

Рис. П.21.

Если у плоской системы векторов , но относительно произвольно выбранной точки , то система эта принадлежит второму подклассу и эквивалентна любой паре с моментом Наконец, плоская система уравновешена, если , т. е. выполнены условия (8). Равенства (8) в этом случае не независимы. Действительно, расположим оси и у в плоскости векторов (рис. ). Тогда при любом расположении векторов условия

выполняются тождественно, и вместо шести равенств (8) в качестве условия равновесия получаем три равенства

3. Система параллельных скользящих векторов. Рассмотрим систему скользящих векторов, у которых линии действия параллельны. В такой системе R также параллелен ее векторам, а вектор М перпендикулярен им. Значит, и в этом случае , и подобная система также не может принадлежать первому подклассу.

Если у системы параллельных векторов , то она сводится к равнодействующему вектору. В этом случае для нахождения его линии действия надо лишь найти точку О, относительно которой , и провести через эту точку прямую, параллельную векторам системы.

Если , но , то система эквивалентна паре с моментом М. Наконец, в случае система уравновешена.

Если ось z направить параллельно векторам (рис. ), то условия

и

обращаются в тождества вида , а условия равновесия системы определяют три равенства

В частном случае плоской системы параллельных векторов остаются лишь два условия равновесия:

а все остальные условия выполняются тождественно; надо лишь ось расположить в плоскости действия векторов (рис. ).

Рис. П.22.

Рис. П.23.

Рис. П.24.

4. Произвольная система пар. В этом случае заведомо . Если то система эквивалентна одной произвольно выбранной паре с моментом М.

Операцию замены системы пар одной парой иногда называют сложением пар. Если , то система уравновешена. Условия равновесия таковы:

остальные три условия равновесия (8) удовлетворяются тождественно.