§ 2. Главный вектор и главный момент системы векторов

В этом параграфе, говоря о векторе, мы имеем в виду обычное определение вектора как направленного отрезка, заданного длиной, направлением и точкой приложения.

Любое число векторов, приложенных к разным точкам пространства или к одной его точке, образует множество или систему векторов.

Рассмотрим произвольное множество (систему) векторов . Выберем произвольную точку О и приложим к этой точке n векторов так, чтобы каждый вектор по величине был равен , параллелен ему и направлен в ту же сторону. Сложим эти векторы по обычным правилам векторной алгебры (попарно, по правилу параллелограмма), т. е. построим вектор

Легко видеть, что при изменении точки О построенный так вектор R — главный вектор системы векторов — как бы переносится в новую точку параллельно самому себе (рис. ).

В этом смысле вектор R не зависит от выбора точки О и полностью определяется заданной системой векторов.

Рассмотрим теперь вектор из системы . Выберем произвольно две точки: точку А на линии действия вектора и точку О вне этой линии (рис. ).

Рис. П.1.

Рис. П.2.

Пусть — радиус-вектор, проведенный из точки О к точке А. Рассмотрим вектор, определяемый векторным произведением

Модуль этого вектора ранен

где — расстояние от точки О до линии действия вектора (рис. ), т. е. удвоенной площади треугольника ВОС, построенного на векторе как на основании и имеющего вершину в точке О.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку О и линию действия вектора , так, что из конца вектора поворот вектора на меньший угол до совмещения с представляется происходящим против вращения часовой стрелки (рис. ).

Так определенный вектор совершенно не зависит от выбора точки А — она играла лишь вспомогательную роль — и зависит лишь от вектора и от выбора точки О.

Точка О называется полюсом, а вектор — моментом вектора относительно полюса О.

Построим теперь моменты всех векторов системы относительно некоторого полюса О, сложим их по обычным правилам сложения векторов:

Вектор называется главным моментом системы относительно полюса О. Главный момент — вектор, приложенный в точке О; он зависит не только от системы векторов , но и от выбора полюса О.

Рис. П.3.

Рис. П.4.

Естественно возникает вопрос: как изменяется главный момент системы при изменении полюса 0? Ответ на этот вопрос дает

Теорема 1 (теорема о переносе полюса). Главный момент системы векторов относительно нового полюса О равен сумме перенесенного в новый полюс главного момента системы, подсчитанного относительно старого полюса О, и момента главного вектора системы относительно нового полюса в предположении, что главный вектор R приложен в старом полюсе.

Доказательство. Рассмотрим вектор из системы векторов и выберем произвольно два полюса О и , а также точку на линии действия вектора (рис. ). Из построения следует, что где — вектор, проведенный из к О.

По определению

Подставим сюда выражение для :

Просуммируем теперь полученные равенства по всем векторам из

или

где векторное произведение

есть момент относительно O вектора R, приложенного в О. Вектор приложен в точке Поэтому для выполнения операции сложения векторов, определяемого формулой (3), вектор должен быть перенесен в О. Теорема доказана.

Из теоремы 1 сразу вытекают два важных следствия. Следствие 1. Если главный вектор системы равен нулю, то главный момент не зависит от выбора полюса.

Следствие 2. Две системы векторов, имеющие одинаковый главный момент относительно какого-нибудь полюса, имеют одинаковые главные моменты относительно любого полюса тогда и только тогда, когда эти системы имеют одинаковый главный вектор. Докажем теперь следующую теорему.

Теорема 2. Если через полюсы О и О, относительно которых берутся главные моменты, провести прямую I, то проекции главных моментов на эту прямую равны.

Доказательство. В силу теоремы 1

Умножим скалярно обе части этого равенства на — орт прямой :

Но коллинеарны, следовательно,

Поэтому . Теорема доказана.

Доказанная теорема делает естественным следующее определение: главным моментом системы векторов относительно оси I называется проекция на эту ось главного момента системы относительно любой точки О, взятой на этой оси.

Главный момент системы относительно оси I обозначается а момент относительно оси вектора обозначается .

Для осей х, у, z имеют место соответственно обозначения . Главный момент системы относительно оси I является, не вектором, а скаляром и, следовательно, задается абсолютным значением и знаком.

Рис. П.5.

Подсчитать главный момент системы относительно некоторой оси удобнее всего так: провести перпендикулярную этой оси плоскость, спроектировать на нее все векторы из и подсчитать главный момент этих проекций относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. П.5.). Действительно,

но

Обозначим через составляющую в плоскости, перпендикулярной I. Тогда с точностью до знака

и

Вернемся к понятию о главном моменте системы векторов относительно полюса О. Выше уже было показано, что в отличие от главного вектора системы R главный момент зависит от Еыбора полюса. Однако имеет место

Теорема 3. Скалярное произведение главного момента системы векторов на главный вектор той же системы не зависит от выбора полюса.

Доказательство. В силу теоремы 1

Умножим скалярно левую и правую части этого равенства на :

Но векторы и R взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю. Теорема доказана.

Таким образом, произведение является инвариантом системы векторов.

Разложим главный момент относительно произвольной точки О на две составляющие: , параллельную R, и , перпендикулярную направлению R (рис. ).

В силу теоремы 3 скалярное произведение не зависит от выбора полюса. Главный вектор R также обладает этим свойством, Следовательно, модуль вектора

также не зависит от выбора полюса, и изменение при смене полюса происходит только за счет изменения .

Теорема 4. Для любой системы векторов с всегда существует прямая, и притом единственная, в точках Т которой т. е. главный момент коллинеарен R. Эта прямая параллельна главному вектору .

Доказательство. Возьмем произвольную точку О. Проведем плоскость П через и главный вектор , отложенный из точки О. В плоскости П разложим на параллельную и перпендикулярную составляющие. Проведем прямую I, перпендикулярную плоскости П, и возьмем произвольную точку N на этой прямой (рис. ).

Рассмотрим — момент вектора , приложенного в точке О, относительно полюса N. Этот момент параллелен вектору . Если перемещать полюс N вдоль прямой I, то величина момента будет меняться. Если точка N «пробежит» всю прямую , то модуль вектора «пробежит» всю числовую ось от до . Поэтому всегда можно и притом единственным образом — выбрать так, чтобы . При этом выборе полюса

т. е. в точке момент коллинеарен R и .

Рис. П.6.

Рис. П.7.

Проведем через точку прямую s, параллельную R. Во всех точках Т этой прямой

Но , так как — главный вектор R, приложенный в точке , — проходит через точку Т, и следовательно, во всех точках прямой .

Возьмем точку О вне прямой s; тогда

Следовательно, прямая, во всех точках которой , для любой системы векторов с существует и единственна. Теорема доказана.

Рис. П.8.

Упомянутая в тексте теоремы 4 прямая является геометрическим местом минимальных моментов, так как во всех ее точках , а в других точках к всегда добавляется . Она называется поэтому осью минимальных моментов или центральной осью системы векторов.

Расположение центральной оси в пространстве целиком определяется заданной системой векторов и является ее важной характеристикой.

Найдем уравнение центральной оси. Зададим систему координат x, у, z с началом в произвольной точке О и с ортами и будем считать известными главный вектор R рассматриваемой системы векторов и — ее главный момент относительно О, начала выбранной системы координат. Наша цель состоит в том, чтобы составить уравнение центральной оси этой системы в координатах х, у, z, содержащее только и R. В точках Т дентальной оси s, и только в них, вектор коллинеарен вектору R, т. е. , где — некоторое число. Поэтому в силу теоремы 1 (рис. )

или

Раскроем векторное произведение

Проектируя теперь рапенство (4) поочередно на оси x, у и z и исключая , получаем искомое уравнение центральной оси

В этом уравнении и — проекции на оси x, у, z, т. е. главные моменты относительно выбранных осей координат, — проекции главного вектора R на те же оси.

Используя понятие центральной оси и теорему 1, нетрудно установить всю картину распределения векторов в пространстве для произвольной системы векторов с . Для этого рассмотрим поверхность кругового цилиндра, ось которого совпадает с центральной осью системы (рис. ), а радиус равен r.

Рис. П.9.

Возьмем на этой поверхности точку и опустим из нее перпендикуляр на центральную ось. В этой точке

причем

Модуль этого вектора , поэтому

Таким образом, геометрическим местом точек, для которых главные моменты системы векторов равны по модулю, является поверхность кругового цилиндра, ось которого совпадает с центральной осью системы.

При перемещении точки О, вдоль образующей цилиндра, т. е. параллельно центральной оси, вектор , не меняется ни по величине, ни по направлению. При перемещении по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной центральной оси, вектор лишь поворачивается вместе с , оставаясь в касательной плоскости; ориентация вектора , в этой плоскости не меняется. При перемещении же вдоль радиуса, т. е. при смене цилиндрической поверхности, , изменяется за счет изменения величины r (рис. П. 10).

Рис. П.10.

До сих пор мы считали, что у рассматриваемой системы векторов Если же , то в силу теоремы 1 момент не зависит от выбора полюса и понятие центральной оси или оси минимальных моментов лишено смысла — главные моменты для такой системы во всех точках пространства одинаковы.