§ 4. Сила. Работа. Силовые поля

1. Понятие о силе.

Снова рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух точек А и В. В силу первого закона Ньютона, если бы в системе не было точки В и точка А была свободной, то скорость точки А относительно инерциальной системы отсчета не изменялась бы и мы имели бы .

Однако из-за взаимодействия точек А и В производная отлична от нуля. Как уже указывалось выше, механика не отвечает на вопрос о том, почему наличие точки В оказывает воздействие на движение точки А, а исходит из того факта, что такое воздействие имеет место, и отождествляет результат этого воздействия с вектором . Воздействие точки В на движение точки А называют силой и говорят, что точка В действует на точку А с силой, изображаемой вектором

Именно это равенство (используя термин «сила») обычно называют вторым законом Ньютона.

Пусть, далее, та же точка А взаимодействует с несколькими материальными объектами . Каждый из этих объектов, если бы он был один, обусловил бы возникновение силы соответственно. При этом постулируется гак называемый принцип независимости действия сил: сила, обусловленная каким-либо источником, не зависит от наличия сил, обусловленных иными источниками. Центральным при этом является предположение о том, что силы, приложенные к одной и той же точке, могут складываться по обычным правилам сложения векторов и что полученная таким образом сила эквивалентна исходным. Благодаря предположению о независимости действия сил множество воздействий, приложенных к материальной точке, можно заменить одним воздействием, представленным соответственно одной силой, которая получается геометрическим гуммированием векторов всех действующих сил.

Сила — результат взаимодействия материальных объектов. Это знчит, что если из-за наличия точки В, то и, наоборот, из-за наличия точки А. Соотношение между силами и устанавливается третьим постулатом (законом) Ньютона. Согласно этому постулату при взаимодействии между материальными объектами силы и равны по величине, действуют вдоль одной прямой, но направлены к противоположные стороны. Этот закон формулируется иногда кратко так: «любое действие равно и противоположно противодействию».

Утверждение это — новый постулат. Он не возникает как-либо из предыдущих исходных предположений, и, вообще говоря, можно построить механику без этого постулата или с иной его формулировкой.

При рассмотрении системы материальных точек удобно разделить все силы, действующие на точки рассматриваемой системы, на два класса. К первому классу относят силы, которые возникают благодаря взаимодействиям материальных точек, входящих в данную систему. Силы такого рода называются внутренними. Силы, возникающие благодаря воздействию на материальные точки рассматриваемой системы других материальных объектов, не включенных в эту систему, называют внешними.

2. Работа силы.

Скалярное произведение , где — бесконечно малое приращение радиуса-вектора при смещении материальной точки вдоль ее траектории, называется элементарной работой силы и обозначается . Сумму элементарных работ всех сил, действующих на точки системы, называют элементарной работой сил системы и обозначают

Выражая скалярные произведения через проекции сомножителей на оси координат, получаем

(17)

(18)

Если проекции сил и приращения координат выражены через один и тот же скалярный параметр (например, через время t или — в случае системы, состоящей из одной точки, — через элементарное перемещение ), то величины в правых частях равенств (17) и (18) могут быть представлены в виде функций от этого параметра, умноженных на его дифференциал, и могут быть проинтегрированы по этому параметру, например по t в пределах от до . Результат интегрирования обозначается и называется полной работой силы и полной работой сил системы за время соответственно.

При подсчете элементарной и полной работы всех сил системы, , должны быть приняты во внимание все силы, как внешние, так и внутренние. Тот факт, что внутренние силы попарно равны и противоположно направлены, оказывается несущественным, так как при подсчете работы играют роль еще и перемещения точек, и поэтому работа внутренних сил, вообще говоря, отлична от нуля.

Рассмотрим частный случай, когда величины в правых частях равенств (17) и (18) могут быть представлены как полные дифференциалы

В этом случае также естественно принять введенные выше обозначения и определения:

Из равенств (21) и (22) следует, что в тех случаях, когда элементарная работа является полным дифференциалом некоторой функции Ф, работа на любом конечном интервале зависит лишь от значений Ф в начале и в конце этого интервала и не зависит от промежуточных значений Ф, т. е. от того, каким образом происходило перемещение.

3. Силовое поле.

Во многих задачах механики часто приходится иметь дело с силами, зависящими от положения рассматриваемых точек (и, быть может, от времени) и не зависящими от их скоростей. Так, например, сила может зависеть от расстояния между взаимодействующими точками. В технических задачах силы, обусловленные пружинами, зависят от деформации пружин, т. е. также от положения в пространстве рассматриваемой точки или тела.

Рассмотрим сначала случай, когда изучается движение одной точки и поэтому рассматривается только одна сила, зависящая от положения точки. В таких случаях вектор силы связывают не с точкой, на которую осуществляется воздействие, а с точками пространства. Предполагается, что с каждой точкой пространства, определяемой в некоторой инерциальной системе отсчета, связан нектор, изображающий ту силу, которая действовала бы на материальную точку, если бы последняя была помещена в эту точку пространства. Таким образом, условно считается, что пространство всюду «заполнено» векторами. Это множество векторов называется силовым полем.

Говорят, что силовое поле стационарно, если рассматриваемые силы не зависят явно от времени. В противном случае силовое поле называется нестационарным.

Поле называется потенциальным, если существует такая скалярная функция координат точки (и, быть может, времени) , что частные производные от этой функции по и равны проекциям силы F на оси х, у и z соответственно:

В связи с тем, что сила F есть функция точки пространства, т. е. координат , и, может быть, времени, ее проекции также являются функциями переменных .

Функция , если она существует, называется силовой функцией. Разумеется, силовая функция существует не для всякого силового поля, и условия ее существования, т. е. условия того, что поле потенциально, еыясняются в курсе математики и определяются равенствами

При исследовании движения N взаимодействующих точек необходимо учитывать наличие N действующих на них сил . В этом случае вводят -мерное пространство координат точек . Задание точки этого пространства определяет расположение всех N материальных точек изучаемой системы. Далее вводят в рассмотрение -мерный вектор с координатами и условно считают, что -мерное пространство всюду плотно заполнено такими векторами. Тогда задание точки этого -мерного пространства определяет не только положение всех материальных точек относительно исходной системы отсчета, но и все силы, действующие на материальные точки системы. Такое -мерное силовое поле называется потенциальным, если существует силовая функция Ф от всех координат такая, что

Если силы могут быть представлены в виде суммы двух слагаемых

так, что слагаемые удовлетворяют соотношениям (24), а слагаемые им не удовлетворяют, то называются потенциальными, непотенциальными силами.

Система материальных точек называется консервативной, если существует силовая функция , не зависящая явно от времени (силовое поле стационарно) и такая, что все силы, действующие на точки, удовлетворяют соотношениям (24).

Элементарную работу сил консервативной системы

удобно представить в ином виде, выразив скалярные произведения через проекции векторов-сомножителей (формула (18)). Учитывая существование силовой функции Ф, в силу (23) получаем

т. е. элементарная работа равна полному дифференциалу силовой функции

Таким образом, при дгижениях консервативной системы элементарная работа выражается полным дифференциалом некоторой функции, и поэтому

Гиперповерхности

называют поверхностями уровня.

В формуле (26) символы и означают значения Ф в моменты начала и конца движения. Поэтому при любом движении системы, началу которого соответствует точка, расположенная на поверхности уровня

а концу — точка на поверхности уровня

работа подсчитываете по формуле (26). Следовательно, при движении консервативней системы работа зависит не от пути, а лишь от того, на каких поверхностях уровня началось и закончилось движение. В частности, работа равна нулю, если движение начинается и заканчивается на одной и той же поверхности уровня.

Формулой (25) можно пользоваться иногда для того, чтобы определить силовую функцию Ф. Продемонстрируем это на простых примерах.

Пример 1. Рассмотрим силу тяжести G, считая, что эта сила не зависит от положения точки. Удобно направить ось z параллельно направлению силы. В этом случае

и поэтому

откуда

Пример 2. Рассмотрим поле упругой силы, действующей вдоль оси z (в сторону, противоположную возрастанию z) и пропорциональной z:

Для этого силового поля и

Пример 3. Рассмотрим поле произвольной центральной силы (мы будем называть силу центральной, если она всегда направлена вдоль прямой, проходящей через центр — неподвижную точку О, а величина ее зависит лишь от расстояния до центра). Приняв точку О за начало координат, можно записать общую формулу для любой центральной силы

Элементарная работа центральной силы равна

поэтому

и

Силовое поле, имеющее такую силовую функцию, называется центральным полем.

Пример 4. В качестве последнего примера рассмотрим поле двух точек, между которыми действует сила взаимного притяжения (или отталкивания), зависящая только от расстояний между точками.

Пусть — радиусы-векторы первой и второй точек соответственно. Если , то — расстояние между точками.

Сила, действующая на первую точку, может быть представлена выражением

сила же , действующая на вторую точку, равна и противоположна силе (здесь ) — некоторая заданная функция расстояния между точками). Тогда

Дословно повторяя рассуждения, проведенные в третьем примере, получаем

и

Таким образом, силовая функция поля тяготения двух точек определяется так же, как и для поля центральной силы, но переменной служит уже не радиус-вектор точки, а расстояние между взаимодействующими точками.

Последний пример иллюстрирует, в частности, то обстоятельство, что функция Ф не аддитивна. Действительно, функцию

нельзя получить как сумму значений, подсчитанных порознь для первой и второй точек, так как она является функцией расстояния , определяемого положением двух точек одновременно.